Witam,
Weźmy zadanie:
Ola ma w pamięci swojego telefonu komórkowego wpisane 24 numery telefonów, w tym dwa różne numery mamy, numer taty, numer brata i numery do pięciu koleżanek z klasy oraz numery różnych instytucji.
b)Ola chce przekazać pewną wiadomość do kogoś ze swojej rodziny oraz do dwóch koleżanek z klasy. Na ile sposobów może to zrobić?
Zrobiłem dobrze. Jednak zastanawiam się, dlaczego następujące rozumowanie ma nie dawać poprawnego wyniku.
Zajmijmy się tą częścią z koleżankami. Ma wybrać dwie koleżanki z klasy spośród pięciu. No to zrobiłem kombinacje dwuelementowe z zbioru pięcioelementowego:
Zastanawiam się tylko dlaczego nie możemy tego policzyć tak:
\(\displaystyle{ C^1_5 \cdot C^1_4}\)
Czyli mnożymy przez siebie najpierw wybór jednej osoby spośród pięciu a potem domnażamy jeszcze jedną osobę spośród czterech. Wynik wychodzi dwa razy większy. Dlaczego tak?
Pozdrawiam
dlaczego nie mogą być kombinacje mnożone?
-
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
dlaczego nie mogą być kombinacje mnożone?
Dlatego, że obydwa elementy są wybierane z tego samego zbioru i Ola wybierając np. najpierw osobę A a następnie osobę B zadzwoni do tych samych koleżanek, jak wóczas gdyby najpierw wybrała osobę B a później osobę A. Widzisz więc, że taki sposób liczenia powoduje policzenie tego samego wariantu dwukrotnie.tukanik pisze:Czyli mnożymy przez siebie najpierw wybór jednej osoby spośród pięciu a potem domnażamy jeszcze jedną osobę spośród czterech. Wynik wychodzi dwa razy większy. Dlaczego tak?
Pozdrawiam
Jeżeli w zadaniach w których używamy kombinacji licząc jakieś warianty, to takie kombinacje mnożymy wtedy jeżeli podzielimy zbiór na rozłączne podzbiory.
Przykładowo losujesz siedem kart z tali kart i masz wylosować dwa piki i dwa kiery. Wówczas "dzielisz" te karty na trzy części (piki, kiery, kara+trefle) i z każdej z nich wybierasz kolejno dwie, dwie i trzy karty. W takiej sytuacji mnożysz odpowiednie kombinacje.
Jeżeli jednak masz wylosować np. dwie damy i cztery inne, dowolne karty, to nie możesz policzyć tego w analogiczny sposób tzn. wylosować dwóch dam z czterech i czterech dowolnych kart z pozostałych pięćdziesięciu. Jest tak dlatego, że "zestaw" do pierwszego losowania nie jest rozłączny z drugim "zestawem" do losowania, co powoduje, że takie samy warianty losowania będziesz liczył wielokrotnie.
-
- Użytkownik
- Posty: 1054
- Rejestracja: 8 paź 2012, o 23:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 696 razy
dlaczego nie mogą być kombinacje mnożone?
Nie wiem ile dokładnie talia ma kart więc dlatego mogę coś nie rozumiećJeżeli jednak masz wylosować np. dwie damy i cztery inne, dowolne karty, to nie możesz policzyć tego w analogiczny sposób tzn. wylosować dwóch dam z czterech i czterech dowolnych kart z pozostałych pięćdziesięciu. Jest tak dlatego, że "zestaw" do pierwszego losowania nie jest rozłączny z drugim "zestawem" do losowania, co powoduje, że takie samy warianty losowania będziesz liczył wielokrotnie.
Ja bym to robił właśnie tak, że bym policzył, na ile sposobów mogę wylosować dwie damy spośród czterech i do tego doliczyłbym kombinacje czteroelementowe z pozostałych kart ( z odłożonymi czterema damami), a więc:
\(\displaystyle{ C^2_4 \cdot C^4_{n-4}
gdzie n to liczba kart w talii}\)
Czy to jest dobrze?
-
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
dlaczego nie mogą być kombinacje mnożone?
Dobrze. Talia ma 52 karty.
Ty opisałeś taki przypadek, że wśród wylosowanych kart mają być dokładnie dwie damy i dzielisz talię na dwie części tzn. cztery damy + pozostałe 48 kart i to jest OK.
Natomiast w moim poprzednim wyjaśnieniu opisałem inny przypadek tzn. taki, że wśród wylosowanych kart mają być co najmniej dwie damy (tzn. dwie damy i cztery dowolne, czyli wśród nich także mogą być damy). Wówczas niektórzy robią takie zadanie wg schematu:
- losujemy dwie damy z czterech
- losujemy dwie karty z pozostałych pięćdziesięciu, czyli z wszystkich oprócz tych dwóch dam wylosowanych wcześniej:
\(\displaystyle{ C^{2}_{4} \cdot C^{4}_{50}}\)
Taki sposób liczenia jest oczywiście zły.
Ty opisałeś taki przypadek, że wśród wylosowanych kart mają być dokładnie dwie damy i dzielisz talię na dwie części tzn. cztery damy + pozostałe 48 kart i to jest OK.
Natomiast w moim poprzednim wyjaśnieniu opisałem inny przypadek tzn. taki, że wśród wylosowanych kart mają być co najmniej dwie damy (tzn. dwie damy i cztery dowolne, czyli wśród nich także mogą być damy). Wówczas niektórzy robią takie zadanie wg schematu:
- losujemy dwie damy z czterech
- losujemy dwie karty z pozostałych pięćdziesięciu, czyli z wszystkich oprócz tych dwóch dam wylosowanych wcześniej:
\(\displaystyle{ C^{2}_{4} \cdot C^{4}_{50}}\)
Taki sposób liczenia jest oczywiście zły.