dlaczego nie mogą być kombinacje mnożone?

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
tukanik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1054
Rejestracja: 8 paź 2012, o 23:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 696 razy

dlaczego nie mogą być kombinacje mnożone?

Post autor: tukanik »

Witam,
Weźmy zadanie:
Ola ma w pamięci swojego telefonu komórkowego wpisane 24 numery telefonów, w tym dwa różne numery mamy, numer taty, numer brata i numery do pięciu koleżanek z klasy oraz numery różnych instytucji.

b)Ola chce przekazać pewną wiadomość do kogoś ze swojej rodziny oraz do dwóch koleżanek z klasy. Na ile sposobów może to zrobić?

Zrobiłem dobrze. Jednak zastanawiam się, dlaczego następujące rozumowanie ma nie dawać poprawnego wyniku.
Zajmijmy się tą częścią z koleżankami. Ma wybrać dwie koleżanki z klasy spośród pięciu. No to zrobiłem kombinacje dwuelementowe z zbioru pięcioelementowego:
Zastanawiam się tylko dlaczego nie możemy tego policzyć tak:
\(\displaystyle{ C^1_5 \cdot C^1_4}\)

Czyli mnożymy przez siebie najpierw wybór jednej osoby spośród pięciu a potem domnażamy jeszcze jedną osobę spośród czterech. Wynik wychodzi dwa razy większy. Dlaczego tak?
Pozdrawiam
Awatar użytkownika
kropka+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4389
Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 787 razy

dlaczego nie mogą być kombinacje mnożone?

Post autor: kropka+ »

tukanik pisze:Zrobiłem dobrze.
Pokaż jak liczyłeś obydwoma sposobami i jakie wyniki otrzymałeś.
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

dlaczego nie mogą być kombinacje mnożone?

Post autor: mat_61 »

tukanik pisze:Czyli mnożymy przez siebie najpierw wybór jednej osoby spośród pięciu a potem domnażamy jeszcze jedną osobę spośród czterech. Wynik wychodzi dwa razy większy. Dlaczego tak?
Pozdrawiam
Dlatego, że obydwa elementy są wybierane z tego samego zbioru i Ola wybierając np. najpierw osobę A a następnie osobę B zadzwoni do tych samych koleżanek, jak wóczas gdyby najpierw wybrała osobę B a później osobę A. Widzisz więc, że taki sposób liczenia powoduje policzenie tego samego wariantu dwukrotnie.

Jeżeli w zadaniach w których używamy kombinacji licząc jakieś warianty, to takie kombinacje mnożymy wtedy jeżeli podzielimy zbiór na rozłączne podzbiory.
Przykładowo losujesz siedem kart z tali kart i masz wylosować dwa piki i dwa kiery. Wówczas "dzielisz" te karty na trzy części (piki, kiery, kara+trefle) i z każdej z nich wybierasz kolejno dwie, dwie i trzy karty. W takiej sytuacji mnożysz odpowiednie kombinacje.

Jeżeli jednak masz wylosować np. dwie damy i cztery inne, dowolne karty, to nie możesz policzyć tego w analogiczny sposób tzn. wylosować dwóch dam z czterech i czterech dowolnych kart z pozostałych pięćdziesięciu. Jest tak dlatego, że "zestaw" do pierwszego losowania nie jest rozłączny z drugim "zestawem" do losowania, co powoduje, że takie samy warianty losowania będziesz liczył wielokrotnie.
tukanik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1054
Rejestracja: 8 paź 2012, o 23:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 696 razy

dlaczego nie mogą być kombinacje mnożone?

Post autor: tukanik »

Jeżeli jednak masz wylosować np. dwie damy i cztery inne, dowolne karty, to nie możesz policzyć tego w analogiczny sposób tzn. wylosować dwóch dam z czterech i czterech dowolnych kart z pozostałych pięćdziesięciu. Jest tak dlatego, że "zestaw" do pierwszego losowania nie jest rozłączny z drugim "zestawem" do losowania, co powoduje, że takie samy warianty losowania będziesz liczył wielokrotnie.
Nie wiem ile dokładnie talia ma kart więc dlatego mogę coś nie rozumieć
Ja bym to robił właśnie tak, że bym policzył, na ile sposobów mogę wylosować dwie damy spośród czterech i do tego doliczyłbym kombinacje czteroelementowe z pozostałych kart ( z odłożonymi czterema damami), a więc:
\(\displaystyle{ C^2_4 \cdot C^4_{n-4}

gdzie n to liczba kart w talii}\)

Czy to jest dobrze?
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

dlaczego nie mogą być kombinacje mnożone?

Post autor: mat_61 »

Dobrze. Talia ma 52 karty.

Ty opisałeś taki przypadek, że wśród wylosowanych kart mają być dokładnie dwie damy i dzielisz talię na dwie części tzn. cztery damy + pozostałe 48 kart i to jest OK.

Natomiast w moim poprzednim wyjaśnieniu opisałem inny przypadek tzn. taki, że wśród wylosowanych kart mają być co najmniej dwie damy (tzn. dwie damy i cztery dowolne, czyli wśród nich także mogą być damy). Wówczas niektórzy robią takie zadanie wg schematu:
- losujemy dwie damy z czterech
- losujemy dwie karty z pozostałych pięćdziesięciu, czyli z wszystkich oprócz tych dwóch dam wylosowanych wcześniej:

\(\displaystyle{ C^{2}_{4} \cdot C^{4}_{50}}\)

Taki sposób liczenia jest oczywiście zły.
ODPOWIEDZ