pokazać że liczb nieparzystych jest nieparzyście wiele

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
JakubCh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 613
Rejestracja: 18 gru 2011, o 11:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów/Kraków
Podziękował: 265 razy
Pomógł: 5 razy

pokazać że liczb nieparzystych jest nieparzyście wiele

Post autor: JakubCh »

Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbę nieparzystą większą od \(\displaystyle{ 1}\). Pokazać, że wśród liczb \(\displaystyle{ {n\choose k}}\) dla \(\displaystyle{ 1 \le k \le \frac{n-1}{2}}\) jest nieparzyście wiele liczb nieparzystych.

Pomocy
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

pokazać że liczb nieparzystych jest nieparzyście wiele

Post autor: Vax »

Nie wprost, niech będzie parzysta ilość liczb nieparzystych, oczywiście \(\displaystyle{ n \ge 3}\), ale wtedy suma:

\(\displaystyle{ S = \sum_{i=1}^{\frac{n-1}{2}} {n \choose i}}\)

będzie parzysta, więc podzielna przez 4 będzie:

\(\displaystyle{ 2S = 2\sum_{i=1}^{\frac{n-1}{2}} {n \choose i} = \sum_{i=1}^{n-1} {n \choose i} = \sum_{i=0}^{n} {n \choose i} - {n \choose 0} - {n \choose n} = 2^n - 2}\)

Ale \(\displaystyle{ 2^n - 2 \equiv 2 \pmod{4}}\)

sprzeczność.
ODPOWIEDZ