Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbę nieparzystą większą od \(\displaystyle{ 1}\). Pokazać, że wśród liczb \(\displaystyle{ {n\choose k}}\) dla \(\displaystyle{ 1 \le k \le \frac{n-1}{2}}\) jest nieparzyście wiele liczb nieparzystych.
Pomocy
pokazać że liczb nieparzystych jest nieparzyście wiele
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
pokazać że liczb nieparzystych jest nieparzyście wiele
Nie wprost, niech będzie parzysta ilość liczb nieparzystych, oczywiście \(\displaystyle{ n \ge 3}\), ale wtedy suma:
\(\displaystyle{ S = \sum_{i=1}^{\frac{n-1}{2}} {n \choose i}}\)
będzie parzysta, więc podzielna przez 4 będzie:
\(\displaystyle{ 2S = 2\sum_{i=1}^{\frac{n-1}{2}} {n \choose i} = \sum_{i=1}^{n-1} {n \choose i} = \sum_{i=0}^{n} {n \choose i} - {n \choose 0} - {n \choose n} = 2^n - 2}\)
Ale \(\displaystyle{ 2^n - 2 \equiv 2 \pmod{4}}\)
sprzeczność.
\(\displaystyle{ S = \sum_{i=1}^{\frac{n-1}{2}} {n \choose i}}\)
będzie parzysta, więc podzielna przez 4 będzie:
\(\displaystyle{ 2S = 2\sum_{i=1}^{\frac{n-1}{2}} {n \choose i} = \sum_{i=1}^{n-1} {n \choose i} = \sum_{i=0}^{n} {n \choose i} - {n \choose 0} - {n \choose n} = 2^n - 2}\)
Ale \(\displaystyle{ 2^n - 2 \equiv 2 \pmod{4}}\)
sprzeczność.