Obliczyć S(6,4)

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
brasco
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 13 mar 2007, o 19:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Obliczyć S(6,4)

Post autor: brasco »

Jak się to liczy \(\displaystyle{ S \left( 6,4 \right)}\)??

[ Dodano: 15 Marzec 2007, 22:57 ]
Należy obliczyć ile jest podziałów zbioru \(\displaystyle{ \left[ n \right] = \left[ 6 \right]}\) na \(\displaystyle{ k=4}\) bloki
Do obliczenia należy wykorzystać wzór
\(\displaystyle{ S \left( n,k \right) =S \left( n-1,k-1 \right) + kS \left( n-1,k \right)}\)
Ostatnio zmieniony 24 sie 2013, o 13:20 przez bakala12, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Awatar użytkownika
max
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Obliczyć S(6,4)

Post autor: max »

\(\displaystyle{ S(6, 4) = S(5, 3) + 4\cdot S(5, 4) = \\
= S(4, 2) + 3\cdot S(4, 3) + 4\cdot \big(S(4, 3) + 4\cdot S(4, 4)\big) = \\
= S(4, 2) + 7\cdot S(4, 3) + 16\cdot S(4, 4) = \\
= S(3, 1) + 2\cdot S(3, 2) + 7\cdot \big(S(3, 2) + 3\cdot S(3, 3)\big) + 16 = \\
= 17 + 9\cdot S(3, 2) + 21\cdot S(3, 3) = \\
= 17 + 9\cdot \big(S(3, 1) + 2\cdot S(2, 2)\big) + 21 = 65}\)
Hefajstos1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 28 sie 2012, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wawa

Obliczyć S(6,4)

Post autor: Hefajstos1 »

Czy ktoś może wytłumaczyć co się dzieje od 2 połowy 2 linijki, bo się zgubiłem?
Alister
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 120
Rejestracja: 10 mar 2010, o 15:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 23 razy

Obliczyć S(6,4)

Post autor: Alister »

Moim zdaniem można to zrobić bez zawiłych rachunków zliczając te zbiory, gdyż te liczby są małe.

Dzieląc zbiór 6-elementowy na 4 bloki mamy dwie mozliwości, albo 3 singletony i 1 zbiór trzyelementowy, albo dwa zbiory dwuelementowe i dwa singletony.

Dla pierwszej mozliwości wyborów jest \(\displaystyle{ {6 \choose 3}}\), ponieważ każdy różny podział ze zbiorem 3-elementowym jest jednoznacznie wyznaczony przez trójkę wybraną do tego zbioru.

Drugiej możliwości jest \(\displaystyle{ \frac{ {6 \choose 2} {4 \choose 2} }{2}}\) - tutaj podobnie, liczba podziałów jest jednoznacznie wyznaczona przez dwójki wybrane do zbiorów dwuelementowych (dzielimy przez dwa bo inaczej każdy wybór zbiorów liczylibyśmy dwukrotnie)

Razem sumując również otrzymuje się 65.
Hefajstos1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 28 sie 2012, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wawa

Obliczyć S(6,4)

Post autor: Hefajstos1 »

Suma nie zgadza mi się tego co napisałeś. Korzystam z symbolu Newtona
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Obliczyć S(6,4)

Post autor: yorgin »

Hefajstos1 pisze:Czy ktoś może wytłumaczyć co się dzieje od 2 połowy 2 linijki, bo się zgubiłem?
Stosuje się wzór rekurencyjny na \(\displaystyle{ S(5,4)}\) a potem zbiera identyczne wyrazy w jedno miejsce i znów rekurencja.

Jeśli gubisz się na tak banalnych obliczeniach, to jest bardzo niedobrze...
Alister
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 120
Rejestracja: 10 mar 2010, o 15:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 23 razy

Obliczyć S(6,4)

Post autor: Alister »

\(\displaystyle{ {6 \choose 3} = 20}\)
\(\displaystyle{ {6 \choose 2} =15}\)
\(\displaystyle{ {4 \choose 2} = 6}\)

\(\displaystyle{ {6 \choose 3} + \frac{ {6 \choose 2} {4 \choose 2} }{2} = 20 + \frac{15*6}{2}= 20 + 45 = 65}\)
ODPOWIEDZ