zwin sume
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
zwin sume
Znów odkurzam (i znów przerzucam do dyskretnej).
Wychodzimy od prostej tożsamości z wzoru dwumiennego Newtona:
\(\displaystyle{ (1 + i)^{4n} = \sum_{k = 0}^{2n} i^{2k}{4n\choose 2k} + \sum_{k = 1}^{2n} i^{2k - 1}{4n\choose 2k} =\\
= 2\sum_{k = 0}^{n}(-1)^{k}{4n\choose 2k} + 2i\sum_{k = 1}^{n}(-1)^{k-1}{4n\choose 2k}}\)
z której mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n - 1} (-1)^{k}{4n\choose 2k} = \frac{\mathbf{Re}\left\{(1 + i)^{4n}\right\} - 2\cdot (-1)^{n}{4n\choose 2n}}{2} =\\
= \frac{(\sqrt{2})^{4n}\cos n \pi - 2\cdot (-1)^{n}{4n\choose 2n}}{2} = (-1)^{n}\cdot ft(2^{2n - 1} -{4n\choose 2n}\right)}\)
(idea nie moja, w kółku była kiedyś podobna suma...)
Wychodzimy od prostej tożsamości z wzoru dwumiennego Newtona:
\(\displaystyle{ (1 + i)^{4n} = \sum_{k = 0}^{2n} i^{2k}{4n\choose 2k} + \sum_{k = 1}^{2n} i^{2k - 1}{4n\choose 2k} =\\
= 2\sum_{k = 0}^{n}(-1)^{k}{4n\choose 2k} + 2i\sum_{k = 1}^{n}(-1)^{k-1}{4n\choose 2k}}\)
z której mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n - 1} (-1)^{k}{4n\choose 2k} = \frac{\mathbf{Re}\left\{(1 + i)^{4n}\right\} - 2\cdot (-1)^{n}{4n\choose 2n}}{2} =\\
= \frac{(\sqrt{2})^{4n}\cos n \pi - 2\cdot (-1)^{n}{4n\choose 2n}}{2} = (-1)^{n}\cdot ft(2^{2n - 1} -{4n\choose 2n}\right)}\)
(idea nie moja, w kółku była kiedyś podobna suma...)