Nierówność z symbolem newtona

Zbyszek92 · Post autor: **Zbyszek92** » 12 lis 2012, o 19:50

Witam, mam takie zadanko:
Udowodnić, że \(\displaystyle{ {2n \choose n} > n^3}\)

Jak się za to zabrać. Proszę o jakąś wskazówkę.

mati861 · Post autor: **mati861** » 12 lis 2012, o 20:34

Proponuje indukcje.
Załóż że\(\displaystyle{ {2n \choose n}>n^{3}}\)
i teza
\(\displaystyle{ {2n+1 \choose n+1}>(n+1)^3}\)
założenie pomnóż obustronnie przez\(\displaystyle{ \frac{2n+1}{n+1}}\)
wtedy po prawej stronie nierówności masz to samo (\(\displaystyle{ {2n \choose n}* \frac{2n+1}{n+1} = {2n+1 \choose n+1}}\))
i oszacuj jedno przez drugie.
\(\displaystyle{ n^{3}* \frac{2n+1}{n+1} >(n+1)^3}\)
Rozwiązujesz i po sprawie (i nie zapomnij o pierwszym kroku indukcyjnym który pominołem)
Mam nadzieje że pomogłem.

Zbyszek92 · Post autor: **Zbyszek92** » 12 lis 2012, o 20:50

A przy n+1 nie powinno być \(\displaystyle{ {2n +2 \choose n+1}}\) ?

mati861 · Post autor: **mati861** » 12 lis 2012, o 21:43

Tak oczywiście mój błąd ale to tak naprawdę niewiele zmienia w rozwiązaniu (trzeba będzie pomnożyć przez (n+1)(n+2) i powinno być ok)

szalenstwo_chemii · Post autor: **szalenstwo_chemii** » 13 lis 2012, o 00:14

Przepraszam, ale mógłby ktoś napisać cos do tego wiecej? jak mam udowodnić to ze jest większe od n[3]