Nieporzadek ile sposobow

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Faner
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 151
Rejestracja: 21 paź 2012, o 17:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: katowice
Podziękował: 27 razy

Nieporzadek ile sposobow

Post autor: Faner »

Na ile roznych sposobow mozna wlozyc n zaadresowanych kopert tak by tylko dwie dostaly swoj list?
Awatar użytkownika
vpprof
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 492
Rejestracja: 11 paź 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 64 razy

Nieporzadek ile sposobow

Post autor: vpprof »

Chyba brakuje części treści, ale jeśli dostanie listu zależy tylko od włożenia go do koperty, to wydaje mi się, że problem redukuje się do wybrania spośród \(\displaystyle{ n}\) dwóch osób, które mają dostać swój list, co można zrobić na \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\) sposobów, oraz pomieszania reszty kopert: pierwsza koperta może mieć włożone \(\displaystyle{ n-3}\) różnych listów (z których żaden nie będzie tym właściwym), druga koperta \(\displaystyle{ n-4}\) listów itd. Czyli ostatecznie wynikiem będzie \(\displaystyle{ {n \choose 2}\cdot \left(n-3\right)!}\)
Mala-Mi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 52
Rejestracja: 11 mar 2011, o 22:52
Płeć: Kobieta
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 3 razy

Nieporzadek ile sposobow

Post autor: Mala-Mi »

vpprof pisze:Chyba brakuje części treści, ale jeśli dostanie listu zależy tylko od włożenia go do koperty, to wydaje mi się, że problem redukuje się do wybrania spośród \(\displaystyle{ n}\) dwóch osób, które mają dostać swój list, co można zrobić na \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\) sposobów, oraz pomieszania reszty kopert: pierwsza koperta może mieć włożone \(\displaystyle{ n-3}\) różnych listów (z których żaden nie będzie tym właściwym), druga koperta \(\displaystyle{ n-4}\) listów itd. Czyli ostatecznie wynikiem będzie \(\displaystyle{ {n \choose 2}\cdot \left(n-3\right)!}\)
Zgodzę się z wyrażeniem \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\), lecz \(\displaystyle{ \left(n-3\right)!}\) już się niestety nie sprawdzi. Wyobraź sobie sytuację, że któraś z osób dostanie kopertę innej i w tym momencie dla tej 2 osoby już nie będziemy musieli odejmować jej właściwej koperty (gdyż już została przydzielona).
Awatar użytkownika
vpprof
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 492
Rejestracja: 11 paź 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 64 razy

Nieporzadek ile sposobow

Post autor: vpprof »

Mala-Mi pisze:Zgodzę się z wyrażeniem \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\), lecz \(\displaystyle{ \left(n-3\right)!}\) już się niestety nie sprawdzi. Wyobraź sobie sytuację, że któraś z osób dostanie kopertę innej i w tym momencie dla tej 2 osoby już nie będziemy musieli odejmować jej właściwej koperty (gdyż już została przydzielona).
Dla każdej kolejnej osoby listów do wyboru będzie o 1 mniej. Zgadzasz się?

Jednocześnie dla trzeciej osoby (czyli pierwszej, która nie dostanie swojego listu) mamy \(\displaystyle{ n-2}\) listów. Jeden z nich jest jej właściwym, więc po jego odrzuceniu mamy \(\displaystyle{ n-3}\) listów. Zgadzasz się?

Łącząc dwa powyższe spostrzeżenia, otrzymujemy wyrażenie \(\displaystyle{ \left(n-3\right)!}\), które opisuje liczbę sposobów, na jakie można niewłaściwie przydzielić \(\displaystyle{ n-2}\) osobom listy.
ODPOWIEDZ