Płyty DVD

[Kvothe]

1.Na ile sposobów możemy ustawić na półce ośmiotomową encyklopedię, tak, aby tom pierwszy i drugi nie stały obok siebie?

2.Ustawiamy na półce 30 płyt DVD. Na 10 płytach znajdują się komedie, na pozostałych 20 filmy przyrodnicze. Na ile sposobów możemy ustawić te płyty na półce, tak aby żadne dwie płyty z komediami nie znajdowały się obok siebie?

Ad.1
Jeśli I tom jest na pozycji skrajnej(ma 2 możliwości), to drugi ma 6 możliwości, a reszta 6! możliwości, czyli:
\(\displaystyle{ 2 \cdot 6 \cdot 6! \cdot 2 = 6! \cdot 24}\), ponieważ tom I i II mogą być jeszcze w odwrotnej pozycji.
Jeśli tom I nie jest na pozycji skrajnej, to ma 6 możliwości, wtedy tom II ma 5 możliwości, a reszta 6! możliwości:
\(\displaystyle{ 6\cdot 5 \cdot 6!}\)
I dalej nie wiem, ponieważ te przypadki mogą sie powtarzać, i nie wiem jak je wykluczyć. Ma wyjść ostateczny wynik:30240

[mat_61]

Wskazówka:

1) Oblicz ilość ustawień dla przypadku gdy tomy I i II stoją obok siebie i odejmij od wszystkich możliwych.
2) Najpierw ustaw filmy przyrodnicze (ile jest możliwości ?) a następnie wybierz miejsca dla komedii i je ustaw w tych miejscach.

-- 10 lis 2012, o 19:11 --

Oczywiście Twój sposób liczenia -choć dłuższy - także jest dobry, ale masz błąd bo takie same ustawienia liczysz jako różne.

Dla pierwszego przypadku gdy jeden z tomów jest na skrajnej pozycji niepotrzebnie na końcu mnożysz jeszcze razy \(\displaystyle{ 2}\)
Jeżeli np. tom I postawimy na prawej skrajnej pozycji a dla tomu II wybierzemy lewą skrajną pozycję, to jest to takie samo ustawienie gdy tom II postawimy na lewej skrajnej pozycji a dla tomu I wybierzemy prawą skrają pozycję.

[Kvothe]

Wskazówka:

1) Oblicz ilość ustawień dla przypadku gdy tomy I i II stoją obok siebie i odejmuj od wszystkich możliwych.

Dzięki wielkie, zrobiłem.

Wskazówka:
2) Najpierw ustaw filmy przyrodnicze (ile jest możliwości ?) a następnie wybierz miejsca dla komedii i je ustaw w tych miejscach.

Nie jestem pewien, czy rozumiem. Same filmy przyrodnicze na 30 miejscach można ustawić na:
\(\displaystyle{ 30 \cdot 29\cdot 28 \cdot 27.... \cdot 11}\)
Czyli komedie można na 10! sposobów. Ale to by oznaczało, że zostało 10 miejsc, więc coś zrobiłem źle, ponieważ komedie nie mogą być w szeregu jedna obok drugiej.

[mat_61]

Jeżeli chodzi o zadanie 2) to źle zrozumiałeś wskazówkę. Nie masz ustawiać \(\displaystyle{ 20}\) filmów przyrodniczych na \(\displaystyle{ 30}\) miejscach, bo wtedy te miejsca które zostaną mogą wypaść koło siebie.

Masz ustawić \(\displaystyle{ 20}\) filmów przyrodniczych w jednym rządku. Teraz dla komedii masz wybrać \(\displaystyle{ 10}\) miejsc do ich wstawienia. Oczywiście te miejsca mogą być wybrane albo między już ustawionymi filmami albo na końcach szeregu (czyli ile miejsc jest do wyboru?). Jak już wybierzesz te miejsca to teraz komedie możesz w nich ustawić na ile sposobów?

-- 10 lis 2012, o 19:28 --

Może bardziej zrozumiała będzie wskazówka dla innego, równoważnego sposobu.

Ustawiasz 20 filmów przyrodniczych na półce (wyobraź sobie, że ta półka nie ma żadnych przegródek tylko filmy stoją obok siebie). Jak już są ustawione filmy przyrodnicze, to ile masz możliwości ustawienia pierwszej komedii? Jak już wybierzesz dla niej miejsce to ile masz możliwości ustawienia drugiej komedii? Itd.

[Kvothe]

Więc możliwości ustawienia 20 filmów w jednym rządku jest 20!. Miejsc skrajnych jest 2. miejsc w środku jest 19, więc jest 21 możliwych miejsc dla komedii. Ale nie jestem pewny.

[mat_61]

Jak na razie bardzo dobrze.

[Kvothe]

Skoro jest 21 miejsc a komedii 10, więc możemy je ustawić na:
\(\displaystyle{ 21 \cdot 20 \cdot 19... \cdot 12}\) sposobów.
Z tego by wynikało, że ostateczną odpowiedzią będzie:
\(\displaystyle{ 21 \cdot 20 \cdot 19... \cdot 12 \cdot 20!}\) chyba, że zrobiłem błąd.

[mat_61]

Nie zrobiłeś błędu, jest OK.

Żeby zapis był krótszy to możesz to zapisać jako \(\displaystyle{ 20! \cdot \frac{21!}{11!}}\)

Ten drugi czynnik to oczywiście wariacje bez powtórzeń (ustawienie dziesięciu książek mając do dyspozycji dwadzieścia jeden miejsc).

Pierwsza wskazówka zakładała takie rozumowanie, że wpierw wybieramy te miejsca dla komedii (kombinacje) a potem już na wybranych miejscach ustawiamy książki (permutacje), czyli zapis byłby taki:

\(\displaystyle{ 20! \cdot {21 \choose 10} \cdot 10!}\)

Oczywiście obydwa zapisy są równoważne. Warto zapamiętać, bo może się przydać:

\(\displaystyle{ kombinacje \cdot permutacje = wariacje \ bez \ powtorzen}}\)

[Kvothe]

Rozumiem, dzięki za pomoc. To tyle jeśli chodzi o ten temat.