Potęgowanie permutacji

[Honzik18]

Witam
\(\displaystyle{ \pi ^{2009} =?}\)

\(\displaystyle{ \pi =\begin{tabular}{ccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
2 & 6 & 5 & 4 & 3 & 1 \\
\end{tabular}}\)

Robiłem to tak:
\(\displaystyle{ \pi = [(1,2,6)(3,5)] ^{2009} = [(1,2,6)(3,5)] ^{6 \times 334+5 } = [(1,2,6)(3,5) ^{6} ] ^{334} [(3,5)] ^{5} =}\) Nie wiem co dalej.

\(\displaystyle{ NWW(3,2)=6}\)

[Vardamir]

Jeżeli rząd permutacji wynosi \(\displaystyle{ 6}\) (tak jak wyznaczyłeś) oznacza to że \(\displaystyle{ \pi^{6}=id}\).

Czyli \(\displaystyle{ \pi^{2009}=\pi^{6\cdot 334} \cdot \pi^{5} = \pi^{5}}\)

Teraz korzystamy z rozkładu na cykle rozłączne (oraz z tego samego faktu co powyżej):

\(\displaystyle{ [(1,2,6)(3,5)]^{5}=(1,2,6)^{5}(3,5)^{5}=(1,2,6)^{2}(3,5)=\cdots}\)

Teraz już z górki.

(ah to kolokwium u pana N. , ile zadań od niego się nagle pojawia )
V.