ile wymiernych składników?

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
gunia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 2 mar 2007, o 18:39
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

ile wymiernych składników?

Post autor: gunia »

\(\displaystyle{ (\sqrt[3]{3}+\sqrt{2})^{5}}\)

z góry dziękuję
wb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3507
Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brodnica
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1260 razy

ile wymiernych składników?

Post autor: wb »

Moim zdaniem tylko jeden - powstały z potęgowania:
\(\displaystyle{ (\sqrt[3]3)^3\cdot (\sqrt2)^2}\)
gunia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 2 mar 2007, o 18:39
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

ile wymiernych składników?

Post autor: gunia »

ale jak do tego się zabrać? Bo rozpisywać to nie ma sensu chyba...
wb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3507
Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brodnica
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1260 razy

ile wymiernych składników?

Post autor: wb »

Rozpisywać całości to nie, ale sprawdzić wszystkie układy wykładników potęg: 5+0, 4+1, 3+2, 2+3, 1+4, 0+5, bo tylko tu można upatrywać powstania liczb niewymiernych.
gunia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 2 mar 2007, o 18:39
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

ile wymiernych składników?

Post autor: gunia »

dobra i tak nie rozumiem, jak mam sprawdzać układy wykładników potęg... dzięki pokombinuje może zrozumiem sama
K.Inc.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 191
Rejestracja: 3 mar 2007, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PT
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 13 razy

ile wymiernych składników?

Post autor: K.Inc. »

wyrażenie zapiszmy w postaci sumy
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{5} {5\choose k} \sqrt[3]{3}^k\sqrt{2}^{5-k}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{5} {5\choose k} 3^{\frac{k}{3}}2^{\frac{5-k}{2}}}\)
aby wyrazy były wymierne:
\(\displaystyle{ \frac{k}{3}\in\mathbb{Z} \frac{5-k}{2}}\in\mathbb{Z}}\)
Jedynym \(\displaystyle{ k\in}\) jest \(\displaystyle{ k=3}\)
Wyrazem wymiernym jest wiec:
\(\displaystyle{ (\sqrt[3]{3})^3(\sqrt{2})^{2}=6}\)
gunia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 2 mar 2007, o 18:39
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

ile wymiernych składników?

Post autor: gunia »

Bardzo dziękuję! Czy suma jest tutaj konieczna?
K.Inc.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 191
Rejestracja: 3 mar 2007, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PT
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 13 razy

ile wymiernych składników?

Post autor: K.Inc. »

Właściwie to nie wiem czy można inaczej, zapewne tak, ale ten sposób zdaje się efektywny i całkiem przystepny.

W moim rozwiązaniu przed tym wyrazem który jest odpowiedzią powinien być jeszcze symbol newtona, czyli:
\(\displaystyle{ {5 \choose 3}({\sqrt[3]{3}})^3(\sqrt{2})^2=10*6=60}\)
gunia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 2 mar 2007, o 18:39
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

ile wymiernych składników?

Post autor: gunia »

nie ma przypadkiem drugiego rozwiązania k=2 , gdy zapisze się w odwrotnej kolejności składniki? to ma jakieś znaczenie w ogóle?

[ Dodano: 13 Marzec 2007, 10:13 ]
Chodzi mi o to czy jest różnica między takim
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{5} {5\choose k} \sqrt[3]{3}^{5-k}\sqrt{2}^k}\) a takim zapisem:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{5} {5\choose k} \sqrt[3]{3}^k\sqrt{2}^{5-k}}\) ?

Czy wystarczy napisać, że zawsze jest jeden składnik wymierny?
K.Inc.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 191
Rejestracja: 3 mar 2007, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PT
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 13 razy

ile wymiernych składników?

Post autor: K.Inc. »

Zdaje mi sie ze nie ma roznicy, no bo przeciez w rozwinieciu dwumianu wystapia oba skladniki.
Poprostu w pierwszym zapisie rosną wykładniki przy \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\), a maleją przy \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), zaś w drugim zapisie jest odwrotnie.
ODPOWIEDZ