Na metodach statystycznych pojawiło się poniższe zadanie. Może ktoś pomóc rozwiązać i mniej więcej przedstawić kroki rozwiązania? Nie potrafię sobie z nim poradzić. Z góry dziękuję.
Na ile sposobów mogę pomalować płot(n elementowy), dwoma farbami (brązową i zieloną), w taki sposób, aby dwa zielone elementy nie były obok siebie?
Malowanie płotu dwoma farbami, zielony nie obok siebie.
-
jozefkarton
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 12 kwie 2010, o 20:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 14 razy
-
mat_61
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
Malowanie płotu dwoma farbami, zielony nie obok siebie.
Policzmy ilość malowań, dla kolejnej liczby zielonych elementów i brązowych elementów:
a) \(\displaystyle{ z=0; b=n \rightarrow {n+1 \choose 0}}\)
b) \(\displaystyle{ z=1; b=n-1 \rightarrow {n \choose 1}}\)
c) \(\displaystyle{ z=2; b=n-2 \rightarrow {n-1 \choose 2}}\)
d) \(\displaystyle{ z=3; b=n-3 \rightarrow {n-2 \choose 3}}\)
....
x) \(\displaystyle{ z=\lfloor (n+1)/2 \rfloor; b=n-\lfloor (n+1)/2 \rfloor \rightarrow {n-\lfloor (n+1)/2 \rfloor+1 \choose \lfloor (n+1)/2 \rfloor}}\)
Wyjaśnienie:
Dla \(\displaystyle{ z}\) elementów zielonych mamy \(\displaystyle{ n-z}\) elementów brązowych. Po ustawieniu elementów brązowych wybieramy miejsca dla elementów zielonych spośród \(\displaystyle{ n-z+1}\) możliwych (są to miejsca pomiędzy elementami brązowymi oraz na końcach płotu). Oczywiście elementów zielonych nie może być więcej niż miejsc do ich rozmieszczenia (czyli elementów zielonych może być co najwyżej o \(\displaystyle{ 1}\) więcej niż brązowych).
Wszystkich możliwości jest więc (wystarczy uzupełnić):
\(\displaystyle{ \sum_{z=...(?)}^{...(?)} ...(?)}\)
a) \(\displaystyle{ z=0; b=n \rightarrow {n+1 \choose 0}}\)
b) \(\displaystyle{ z=1; b=n-1 \rightarrow {n \choose 1}}\)
c) \(\displaystyle{ z=2; b=n-2 \rightarrow {n-1 \choose 2}}\)
d) \(\displaystyle{ z=3; b=n-3 \rightarrow {n-2 \choose 3}}\)
....
x) \(\displaystyle{ z=\lfloor (n+1)/2 \rfloor; b=n-\lfloor (n+1)/2 \rfloor \rightarrow {n-\lfloor (n+1)/2 \rfloor+1 \choose \lfloor (n+1)/2 \rfloor}}\)
Wyjaśnienie:
Dla \(\displaystyle{ z}\) elementów zielonych mamy \(\displaystyle{ n-z}\) elementów brązowych. Po ustawieniu elementów brązowych wybieramy miejsca dla elementów zielonych spośród \(\displaystyle{ n-z+1}\) możliwych (są to miejsca pomiędzy elementami brązowymi oraz na końcach płotu). Oczywiście elementów zielonych nie może być więcej niż miejsc do ich rozmieszczenia (czyli elementów zielonych może być co najwyżej o \(\displaystyle{ 1}\) więcej niż brązowych).
Wszystkich możliwości jest więc (wystarczy uzupełnić):
\(\displaystyle{ \sum_{z=...(?)}^{...(?)} ...(?)}\)