Na każdym z sześciennych klocków, które ma Tomek, zapisana jest jedna cyfra. Pewnego dnia chłopiec ustawił w szereg siedem klocków, otrzymując liczbę siedmiocyfrową. Po chwili z utworzonego szeregu wysunął wszystkie klocki z cyfrą 5. Wówczas cyfry na pozostawionych klockach utworzyły liczbę 2010. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że otrzymana liczba siedmiocyfrowa była
a) większa od 5 000 000
Jak ja rozumuję:
Postanowiłem, że łatwiej będzie obliczyć, kiedy ta liczba będzie mniejsza niż 5 000 000, bo równa przecież być nie może- przynajmniej tak mi się wydaje, bo przecież niemożliwym jest do uzyskania z tych cyfr co mamy (2,0,0,1,0,5,5,5) liczby równej. Skoro po wyciągnięciu piątek mamy liczbę 2010 oznacza to, że pierwszą spośród niepiątkowych cyfr była 2. A więc, jeśli liczba ma być mniejsza od 5 000 000 oznacza to też, że pierwszą cyfrą musi być 2. ( 1 nie może być, bo po wyciągnięciu piątek jedynka "wyprzedzi" dwójkę, a to jest niedozwolone.
W takim razie dwójka pierwsza.
Dalej pozostaje problem ułożenia pozostałych cyfr: 5,5,5,0,0,1 przy czym kolejność zer i jedynki musi być stała- 0,1,0. Wymyśliłem, że jeżeli zrobimy tak: 2_5_5_5_ to każdą z cyfr 0,0,1 możemy włożyć na 4 sposoby, a więc nasz |A'| = 64.
Natomiast jako przestrzeń biorę wszystkie układy 5 cyfr ( 5,5,5,1,2)= 5!. Dzielę to przez 3!- bo przeciż piątek nie ma sensu zamieniać. I mnożę to jeszcze razy 5 i razy 6. ( czyli tyle razy na ile sposobów mogę włożyć zera. Na początku jedno zero mogę włożyć na 5 sposobów, potem długość liczby mi się zmienia i mogę to zrobić już na sześć sposobów.) Czyli
\(\displaystyle{ \Omega =\frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cdot 1}{3!} \cdot 5 \cdot 6 =600}\)
\(\displaystyle{ P(A') = \frac{64}{600}}\)
\(\displaystyle{ P(A)= 1 - \frac{64}{600}= \frac{536}{600}}\)
A odpowiedź to:
\(\displaystyle{ \frac{3}{7}}\)
