Liczba pierwsza

[MikolajB]

Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą. Wyznaczyć liczbę podzbiorów \(\displaystyle{ p}\)-elementowych zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,...,2p\right\}}\) , dla których suma wszystkich elementów jest podzielna przez \(\displaystyle{ p}\).

[arek1357]

wydaje mi się, że można zapisać równaniem ten problem:

(1) \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{p}= \alpha p}\)

\(\displaystyle{ \alpha \in \left\langle \frac{1+p}{2}; \frac{3p}{2} \right\rangle}\)

Bo sumę biorę minimalną i maxymalną,

Należy pamiętać, że:

\(\displaystyle{ 1 \lex_{1}<x_{2}<...<x_{p} \le 2p}\)

jeżeli teraz uczynimy podstawienia:

\(\displaystyle{ x_{1}=y_{1}}\)

\(\displaystyle{ x_{2}=y_{2}+1}\)

\(\displaystyle{ x_{3}=y_{3}+2}\)

.............................................

\(\displaystyle{ x_{p}=y_{p}+p-1}\)

to po podstawieniu i skróceniu otrzymamy:

(2) \(\displaystyle{ y_{1}+y_{2}+...+y_{p}= \alpha p- \frac{1}{2}p(p-1)}\)

różnica między tą równością a równością (1), jest taka że (1) jest ostra a (2) nieostra czyli:

\(\displaystyle{ 1 \ley_{1} \le y_{2} \le ... \le y_{p} \le p+1}\)

i można stosować wzór na podziały nieostre liczb:

\(\displaystyle{ P( \alpha p- \frac{1}{2}p(p-1),p)}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ P(n+k,k)= \sum_{i=1}^{k}P(n,i)}\)