Zad. 1.
Planszą do japońskiej gry GO jest kwadrat podzielony na 169 małych kwadratowych oczek w układzie 13×13. W każdym oczku stawiamy kamień - czarny lub biały. Nazwijmy obrazem każde możliwe zapełnienie tej planszy czarnymi i białymi kamieniami. Ile takich obrazów można utworzyć?
zad 2.
Ojciec chce oddać swoim trzem synom swój majątek w postaci dziesięciu jednakowych złotych monet. Na ile sposobów może to zrobić, przy założeniu, że każdemu synowi chce przekazać co najmniej jedną monetę?
Zad. 3.
W woreczku znajduje się 12 jednakowych białych kul. Na ile sposobów można te kule pomalować trzema kolorami: czerwonym, zielonym i niebieskim, każdy kolor wykorzystując do pomalowania co najmniej jednej kuli?
Z góry bardzo dziękuje za pomoc
kombinatoryka 3 zadania
-
- Użytkownik
- Posty: 654
- Rejestracja: 3 lis 2010, o 17:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 316 razy
- Pomógł: 1 raz
-
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
kombinatoryka 3 zadania
1) Miejsc jest \(\displaystyle{ 169}\) i na każdym może stać albo biały albo czarny kamień, czyli dwie możliwości, więc obrazów jest \(\displaystyle{ 2^{169}}\).
2) Pytamy ile jest rozwiązań równania \(\displaystyle{ x+y+z=10}\) w liczbach całkowitych dodatnich, czyli ile jest rozwiązań równania \(\displaystyle{ (a+1)+(b+1)+(c+1)=10}\) w liczbach całkowitych nieujemnych, lub równoważnie \(\displaystyle{ a+b+c=7}\). Takich rozwiązań jest \(\displaystyle{ {10 \choose 3}}\).
3) Podobnie jak 2).
2) Pytamy ile jest rozwiązań równania \(\displaystyle{ x+y+z=10}\) w liczbach całkowitych dodatnich, czyli ile jest rozwiązań równania \(\displaystyle{ (a+1)+(b+1)+(c+1)=10}\) w liczbach całkowitych nieujemnych, lub równoważnie \(\displaystyle{ a+b+c=7}\). Takich rozwiązań jest \(\displaystyle{ {10 \choose 3}}\).
3) Podobnie jak 2).
-
- Użytkownik
- Posty: 654
- Rejestracja: 3 lis 2010, o 17:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 316 razy
- Pomógł: 1 raz
kombinatoryka 3 zadania
a odnośnie zad 1 skąd wiadomo że to wariacje z powtórzeniami a nie np. kombinacje ?
- Vardamir
- Użytkownik
- Posty: 1913
- Rejestracja: 3 wrz 2010, o 22:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 410 razy
kombinatoryka 3 zadania
Czasem wystarczy się zastanowić co chcemy liczyć, a nie zastanawiać jaki schemat będzie tu pasował.
W zadaniu 1 :
Dla każdego ze 169 miejsc masz dwie możliwości (biały albo czarny kamień).
Zatem mamy \(\displaystyle{ \underbrace{2\cdot 2 \cdot \cdots \cdot 2 }_{169}}\) możliwości.
W zadaniu 1 :
Dla każdego ze 169 miejsc masz dwie możliwości (biały albo czarny kamień).
Zatem mamy \(\displaystyle{ \underbrace{2\cdot 2 \cdot \cdots \cdot 2 }_{169}}\) możliwości.
-
- Użytkownik
- Posty: 654
- Rejestracja: 3 lis 2010, o 17:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 316 razy
- Pomógł: 1 raz
kombinatoryka 3 zadania
aha dzięki wielkie
a jeszcze nie za bardzo rozumiem w zadaniu 2 skąd się wzięło \(\displaystyle{ {10 \choose 3}}\)
mógłbyś mi to tak łopatologicznie jak w pierwszym wytłumaczyć ?
a jeszcze nie za bardzo rozumiem w zadaniu 2 skąd się wzięło \(\displaystyle{ {10 \choose 3}}\)
mógłbyś mi to tak łopatologicznie jak w pierwszym wytłumaczyć ?
-
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
kombinatoryka 3 zadania
tometomek91, Twoje rozwiązanie zadania 2 nie jest poprawne.
Załóżmy, że mamy na stole dziesięć monet:
\(\displaystyle{ x x x x x x x x x x}\)
Jeżeli teraz chcemy je podzielić na trzy części tak aby w każdej była co najmniej jedna moneta to wystarczy pomiędzy nimi (dziewięć możliwości) postawić dwie przegródki, np. tak:
\(\displaystyle{ x x x x | x x x x x| x}\)
co oznacza, że pierwszy syn dostanie cztery monety, drugi pięć, a trzeci jedną.
Wszystkich możliwości podziału jest więc \(\displaystyle{ {9 \choose 2}}\)
-- 5 lis 2012, o 00:13 --
Ewentualnie odnosząc się do rozwiązania w liczbach całkowitych nieujemnych równania \(\displaystyle{ a+b+c=7}\) mamy 7-elementową kombinację z powtórzeniami ze zbioru 3-elementowego, czyli \(\displaystyle{ {7+3-1 \choose 7}= {9 \choose 7}}\)
Załóżmy, że mamy na stole dziesięć monet:
\(\displaystyle{ x x x x x x x x x x}\)
Jeżeli teraz chcemy je podzielić na trzy części tak aby w każdej była co najmniej jedna moneta to wystarczy pomiędzy nimi (dziewięć możliwości) postawić dwie przegródki, np. tak:
\(\displaystyle{ x x x x | x x x x x| x}\)
co oznacza, że pierwszy syn dostanie cztery monety, drugi pięć, a trzeci jedną.
Wszystkich możliwości podziału jest więc \(\displaystyle{ {9 \choose 2}}\)
-- 5 lis 2012, o 00:13 --
Ewentualnie odnosząc się do rozwiązania w liczbach całkowitych nieujemnych równania \(\displaystyle{ a+b+c=7}\) mamy 7-elementową kombinację z powtórzeniami ze zbioru 3-elementowego, czyli \(\displaystyle{ {7+3-1 \choose 7}= {9 \choose 7}}\)