rozmieszczenie kul w szufladkach

anetaaneta1 · Post autor: **anetaaneta1** » 4 lis 2012, o 20:02

zad 1
Rozmieszczono k nierozróżnialnych kul w n ponumerowanych komórkach \(\displaystyle{ (k<n)}\). Oblicz liczbę możliwych sposobów rozmieszczenia, jeśli każda komórka może zawierać co najwyżej jedną kulę.

zad 2
Rozmieszczono k nierozróżnialnych kul w n ponumerowanych szufladkach. Oblicz liczbę możliwych sposobów rozmieszczenia, jeśli każda szufladka może pomieścić nieograniczoną liczbę kul.

zad 3
Rozmieszczono k ponumerowanych kul w n ponumerowanych komórkach \(\displaystyle{ (k<n)}\). Oblicz liczbę możliwych sposobów rozmieszczenia, jeśli każda komórka może zawierać co najwyżej jedną kulę.

zad 4
Rozmieszczono k ponumerowanych kul w n ponumerowanych szufladkach. Oblicz liczbę możliwych sposobów rozmieszczenia, jeśli każda szufladka może pomieścić nieograniczoną liczbę kul.

Bardzo proszę o pomoc i w miarę dokładne wytłumaczenie co skąd się bierze.
Z góry wielkie dzięki

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 4 lis 2012, o 21:08

Czym się różni zad.1 od zad.3 i zad.2 od zad.4 ?

Wskazówka:

1) kombinacje bez powtórzeń
2) kombinacje z powtórzeniami

anetaaneta1 · Post autor: **anetaaneta1** » 4 lis 2012, o 22:33

czyli w zad 1 będzie \(\displaystyle{ {n \choose k}}\)
w zad 2 będzie \(\displaystyle{ n^k}\)

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 4 lis 2012, o 22:47

Tak.
Nie.

anetaaneta1 · Post autor: **anetaaneta1** » 4 lis 2012, o 22:49

a jak będzie z zad 3,4 z tymi nieograniczonymi kulami ?

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 4 lis 2012, o 23:01

Teraz zauważyłem, że w przykładach 3 i 4 kule są rozróżnialne.

3) wariacje bez powtórzeń
4) wariacje z powtórzeniami

Przepraszam za wcześniejszą pomyłkę (już poprawiłem) ale odpowiedź do zadania 2) masz źle. Jak napisałem we wskazówce miały być kombinacje z powtórzeniami.

anetaaneta1 · Post autor: **anetaaneta1** » 4 lis 2012, o 23:07

aha czyli w 1,2 są kombinacje a w 3,4 wariacje tak ?
Jak to rozróżnić w tych zadaniach ze chodzi akurat o kombinacje a nie wariacje ?
Bo nie za bardzo wiem czym różnią się te zadania

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 4 lis 2012, o 23:14

Tak (oczywiście z powtórzeniami lub bez).

Jeżeli chodzi o rozróżnienie, to jest ono związane z tym, że w zadaniach 1 i 2 kule są nierozróżnialne. Przykładowo dla zadania 1 jeżeli mamy np. osiem ponumerowanych pudełek i pięć kul, to wybieramy pięć pudełek i do każdego wkładamy kulę (obojętnie którą do której, bo kule są jednakowe).

Natomiast w zadaniach 3 i 4 kule są rozróżnialne (np. różnokolorowe), czyli przykładowo dla zadania 3 dla każdej kolejnej kuli "losujemy" bez zwracania numer pudełka w którym się ona znajdzie. Wówczas nawet przy takim samym zestawie zapełnionych pudełek jest istotne kula jakiego koloru w jakim jest pudełku.

anetaaneta1 · Post autor: **anetaaneta1** » 4 lis 2012, o 23:18

A jeszcze pytanie odnośnie wariacji z powtórzeniami i bez powtórzeń czemu w zadaniu 3 są bez powtórzeń z w 4 z powtórzeniami ?

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 4 lis 2012, o 23:27

Bo w zadaniu 3) każda kula musi mieć przyporządkowaną inną szufladę (komórkę) ponieważ zgodnie z treścią zadania w każdej szufladzie (komórce) nie może być więcej niż jednej kuli.

Natomiast w zadaniu 4) dla kolejnych kul można przyporządkowywać bez ograniczeń te same numery szuflad ponieważ zgodnie z treścią zadania w szufladzie można zmieścić dowolną ilość kul.