Przełamanie kija o długości 4 m na 3 części

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Awatar użytkownika
Krysewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 25 paź 2012, o 18:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 3 razy

Przełamanie kija o długości 4 m na 3 części

Post autor: Krysewski »

Czy mógłby mi ktoś pomóc rozwiązać te dwa zadania, ponieważ nie mam pojęcia od czego zacząć je rozwiązywać?
1. Kij o długości 4 m przełamano losowo na 3 części. Obliczyć prawdopodobieństwo, że z części można zbudować trójkąt.
Odpowiedź: \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)

2. Kij o długości 4 m przełamano losowo na 3 części. Obliczyć prawdopodobieństwo, że jedna z tych części jest dłuższa niż 3 m.
Odpowiedź: \(\displaystyle{ \frac{3}{16}}\)
irena_1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 496
Rejestracja: 24 sie 2010, o 09:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Pomógł: 122 razy

Przełamanie kija o długości 4 m na 3 części

Post autor: irena_1 »

1.
To typowe zadanie na prawdopodobieństwo geometryczne.
Narysuj odcinek o długości 4, zaznacz na nim 2 punkty. Podzielą one odcinek na 3 części. Oznacz długości pierwszych dwóch części x, y. Trzecia część ma długość \(\displaystyle{ 4-(x+y)}\).

Długości odcinków spełniają warunek;
\(\displaystyle{ x+y\le4\\y\le-x+4\\x,\ y\ge0}\)

W układzie współrzędnych narysuj prostą o równaniu \(\displaystyle{ y=-x+4}\) i zaznacz w układzie zbiór spełniający te warunki.
Otrzymasz trójkąt prostokątny o wierzchołkach: \(\displaystyle{ (0;\ 0),\ \ (4;\ 0),\ \ (0,\ 4)}\).

Żeby odcinki otrzymane spełniały warunek trójkąta, muszą być spełnione nierówności;
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y\ge4-(x+y)\\x+4-(x+y)\ge y\\y+4-(x+y)\ge x \end{cases}}\)

Czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y\le-x+2\\y\le2\\x\le2 \end{cases}}\)

Oczywiście, \(\displaystyle{ x,\ y\ge0}\).

W układzie współrzędnych zaznacz zbiór spełniający te warunki.
Otrzymasz trójkąt prostokątny o wierzchołkach: \(\displaystyle{ (0;\ 0),\ \ (2;\ 0),\ \ (0;\ 2)}\)

Pole większego trójkąta odpowiada całemu zbiorowi \(\displaystyle{ \Omega}\).
Pole mniejszego trójkąta - zdarzeniu sprzyjającemu danemu zdarzeniu.
Stąd:
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{1}{4}}\)-- 29 paź 2012, o 12:37 --2.
Początek podobny.
Całemu zbiorowi odpowiada trójkąt o wierzchołkach \(\displaystyle{ (0;\ 0),\ \ (4;\ 0),\ \ (4;\ 0)}\).

Mamy tutaj możliwości:
\(\displaystyle{ x\ge3\ \wedge\ y\ge0}\)

lub

\(\displaystyle{ y\ge3\ \wedge\ x\ge0}\)

lub

\(\displaystyle{ 4-(x+y)\ge3\\x+y\le1\\y\le-x+1\ \wedge\ x,\ y\ge0}\)

W układzie współrzędnych zaznacz sumę zbiorów spełniających odpowiednio te warunki.
Otrzymasz 3 trójkąty
- o wierzchołkach \(\displaystyle{ (3;\ 0),\ \ (4;\ 0),\ \ (3;\ 1)}\)
- o wierzchołkach \(\displaystyle{ (0;\ 3),\ \ (1;\ 3),\ \ (4;\ 0)}\)
- o wierzchołkach \(\displaystyle{ (0;\ 0),\ \ (1;\ 0),\ \ (0;\ 1)}\)

Pole wyjściowego, dużego trójkąta jest równe \(\displaystyle{ \frac{4\cdot4}{2}=8}\)
Suma pól małych trójkątów jest równa \(\displaystyle{ 3\cdot\frac{1\cdot1}{2}=\frac{3}{2}}\)

Stąd:
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{\frac{3}{2}}{8}=\frac{3}{16}}\)
irena_1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 496
Rejestracja: 24 sie 2010, o 09:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Pomógł: 122 razy

Przełamanie kija o długości 4 m na 3 części

Post autor: irena_1 »

Po zwróceniu uwagi na błędy w zapisie jestem zobowiązana poprawić rozwiązanie.
1.

Warunki, jaki spełniać muszą liczby x i y:
\(\displaystyle{ {x+y<4\\x,\ y>0}\)

Żeby te liczby spełniały warunek trójkąta musi być:
\(\displaystyle{ \{y+4-(x+y)>x\\x+4-(x+y)>y\\x+y>4-(x+y)}\)

Czyli warunki:
\(\displaystyle{ x,\ y>0\\y>-x+2\\x<2\\y<2}\)

Co daje:
- cała przestrzeń to trójkąt prostokątny o wierzchołkach
(0, 0), (4, 0), (0, 4).
- punkty (x, y), które spełniają warunki zadania to wnętrze trójkąta prostokątnego o wierzchołkach
(2, 0), (2, 2), (0, 2)

Pole dużego trójkąta
\(\displaystyle{ P_D=\frac{1}{2}\cdot4^2=8}\)

Pole mniejszego trójkąta
\(\displaystyle{ P_m=\frac{1}{2}\cdot2^2=2}\)

Prawdopodobieństwo jest więc równe
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}}\)
ksisquare
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 132
Rejestracja: 1 cze 2012, o 07:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Pomógł: 15 razy

Przełamanie kija o długości 4 m na 3 części

Post autor: ksisquare »

A jakby wyglądało gdyby łamać kij całeczką?
ODPOWIEDZ