Ułożenie liczb.

[forme]

Ile istnieje możliwości ułożenia liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, tak aby 2 i 3 nie sąsiadowały ze sobą, ale dokładnie jedna z nich sąsiadowała z 4. Powiedzcie czy dobrze rozumuję. Możliwości, gdy 2 i 4 są obok siebie jest \(\displaystyle{ 6! \cdot 2}\). Tyle samo dla 3 i 4. Stąd \(\displaystyle{ 6! \cdot 4}\) Od tego wyniku odejmuję możliwości, gdy 2 i 3 sąsiadują ze sobą oraz możliwości takie jak 2−4−3 i 3−4−2. Ostatecznie wychodzi \(\displaystyle{ 6! \cdot 4 - 6! \cdot 2 - 5! \cdot 2 = 1440 - 240 = 1200}\) Jest ok?

[bb314]

Nie sądzę.

Mnie wychodzi \(\displaystyle{ \blue1920}\)

[mat_61]

Odpowiedź \(\displaystyle{ 1920}\) jest poprawna.

Rozmieszczamy dowolnie liczby \(\displaystyle{ \left\{ 1, 5, 6, 7\right\}}\) na \(\displaystyle{ 4!}\) sposobów.

Wybieramy jedną z \(\displaystyle{ 4}\) par \(\displaystyle{ \left\{ 24, 42, 34, 43\right\}}\) zawierających czwórkę i umieszczamy w jednym z \(\displaystyle{ 5}\) możliwych miejsc.

Ostatnią liczbę (dwójkę lub trójkę) możemy umieścić w jednym z \(\displaystyle{ 4}\) możliwych miejsc.

Wszystkich możliwości jest więc:

\(\displaystyle{ 4! \cdot 4 \cdot 5 \cdot 4=1920}\)