kombinacje, cukierki

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
malyM9
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 116
Rejestracja: 2 sty 2012, o 20:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: polska
Podziękował: 38 razy

kombinacje, cukierki

Post autor: malyM9 »

Na ile sposobow mozna rozdac 6 cukierkow, trzem osobom, po dwa kazdej?

wiem ze ma to byc cos takiego
\(\displaystyle{ {6 \choose 2} \cdot {4 \choose 2}}\)
ale nie rozumiem dlaczego mnozymy przez siebie te dwa symbole newtona a nie je dodajemy.

Prosze o wytlumaczenie: )
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

kombinacje, cukierki

Post autor: mat_61 »

Dlatego, że korzystamy tutaj z twierdzenia o mnożeniu.

Pierwszy czynnik mówi, że dwa cukierki dla pierwszej osoby możesz wybrać na 15 sposobów. Teraz z pozostałych cukierków możesz wybrać dwa dla drugiej osoby na 6 sposobów i to jest drugi czynnik. Pozostałe dwa cukierki zostają dla trzeciej osoby - można to także zapisać jako \(\displaystyle{ {2 \choose 2}}\). Zakładam, że do tego momentu rozumiesz.

Teraz korzystasz z twierdzenia o mnożeniu.
Dla każdego wariantu wyboru cukierków dla pierwszej osoby (powiedzmy, że oznaczymy je jako A1, A2, A3, ... , A15) możesz wybrać dowolny wariant wyboru cukierków dla drugiej osoby (powiedzmy, że oznaczymy je jako B1, B2, B3, ... , B6), czyli podział może wyglądać tak:

A1+B1
A1+B2
A1+B3
.....
A1+B6

A2+B1
A2+B2
A2+B3
.....
A2+B6
.......
A15+B1
A15+B2
A15+B3
.....
A15+B6

Oznacza, to, że dla obliczenia ile jest wszystkich możliwych wyborów musisz te wartości pomnożyć.

Oczywiście trzeciej osobie zawsze zostają dwa ostatnie cukierki.
malyM9
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 116
Rejestracja: 2 sty 2012, o 20:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: polska
Podziękował: 38 razy

kombinacje, cukierki

Post autor: malyM9 »

ok powiedzmy ze pierwsza najpierw wybierze cukierki {a,b} a druga {c,d},
czy to będzie to samo co gdyby pierwszej trafiły się cukierki {c,d} a drugiej {a,b},
czy są to 2 różne sytuacje ?
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

kombinacje, cukierki

Post autor: mat_61 »

Oczywiście dwie różne.
Przecież gdyby cukierki były jednakowe, to byłoby to bez znaczenia, ale wtedy byłby jeden możliwy podział (każdy pod dwa cukierki) i zadanie byłoby trywialne.
Zadanie jest nietrywialne tylko dla różnych cukierków i wówczas jest różnica, czy Ty dostaniesz krówkę i ptasie mleczko a kolega maczka i kukułkę, czy odwrotnie.
malyM9
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 116
Rejestracja: 2 sty 2012, o 20:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: polska
Podziękował: 38 razy

kombinacje, cukierki

Post autor: malyM9 »

okej, zastanawiałem się tylko czy rozróżniamy w tym zadaniu ludzi w sensie ze ich kolejnosc
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

kombinacje, cukierki

Post autor: mat_61 »

Oczywiście, to rozwiązanie zakłada, że ludzie są rozróżnialni. Rozróżnialność ludzi można oczywiście utożsamiać z ich kolejnością (czyli jakby każda osoba miała nadany numer).

Wprawdzie w zadaniu nie jest to powiedziane bezpośrednio (i w zależności od staranności sformułowania zadania mogą być nie raz problemy z jego interpretacją) ale zakładamy, że ludzie są z natury rozróżnialni.

Gdyby jednak założyć na potrzeby zadania, że ludzie są jednak nierozróżnialni, to wówczas otrzymany wynik należałoby podzielić przez \(\displaystyle{ 3!}\) (liczyłoby się tylko to jakie cukierki są w parach, a nie to kto jaką parę cukierków dostanie)
ODPOWIEDZ