Pary do tanca

[malyM9]

na ile sposobow 12 mezczyzn moze prosic 4 damy do tanca?

czy to bedzie tak:
\(\displaystyle{ 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}\)
(kazdy kolejna z czterech moze byc proszone przez o jednego mniej?)
?

[kamil13151]

Niech zbiorem kobiet będzie: \(\displaystyle{ K= \left\{K_1, K_2, K_3, K_4\right\}}\), natomiast mężczyzn \(\displaystyle{ M=\left\{ M_1, M_2, ..., M_{12}\right\}}\). Mamy obliczyć ilość możliwych par, zatem metoda mnożenia: \(\displaystyle{ 4 \cdot 12}\).

[EDIT]: Spytam się kogoś, bo teraz kilku-znaczne jest dla mnie te zadanie.

[malyM9]

a wezmy sytuacje odwrotna niech
bedzie tak:
Na ile sposobow 4 mężczyzn moze prosic do tanca 12 kobiet?

To dlaczego nie może to byc tak ze :
pierwszy moze wybrac sposrod 12
drugi sposrod 11
trzeci z 10
a czwarty z 9
?

[mat_61]

Poprawna jest odpowiedź malyM9. Taki wybór to typowa wariacja bez powtórzeń. Mamy utworzyć \(\displaystyle{ 4}\) - elementowy ciąg ze zbioru \(\displaystyle{ 12}\) -elementowego. Kolejne wyrazy tego ciągu to partnerzy kolejnych kobiet.

Jest to to samo co wybór \(\displaystyle{ 4}\) mężczyzn którzy w ogóle będą tańczyć (kombinacja) i następnie ich przyporządkowanie w pary do kobiet (permutacja).

Rozwiązanie podane przez kamil13151 dotyczy takiej sytuacji gdybyśmy przykładowo mieli wybrać jedną parę na turniej mając do dyspozycji \(\displaystyle{ 4}\) tancerki i \(\displaystyle{ 12}\) tancerzy (to tak jakbyśmy mieli \(\displaystyle{ 4}\) krawaty i \(\displaystyle{ 12}\) koszul i mieli skompletować jeden zestaw).

Oczywiście kontynuując takie rozumowanie możemy wybrać drugą parę na \(\displaystyle{ 3 \cdot 11}\) sposobów, trzecią parę na \(\displaystyle{ 2 \cdot 11}\) sposobów i ostatnią na \(\displaystyle{ 1 \cdot 9}\) sposobów. Ponieważ kolejność tworzenia par nie ma znaczenia (liczy się kto z kim tańczy a nie to w której "turze" został wybrany) to uzyskany wynik należałoby podzielić przez \(\displaystyle{ 4!}\)