W pewnej operze

[malyM9]

Witam : )
Proszę o pomoc z zadaniem:
W operze kazda z 6 ról ma 3 obsady.
Na ile sposobow mozna skompletowac obsade przedstawienia jesli:
a) kazdy obsadzony jest tylko w jednej roli?
b) jeden ze śpiewaków obsadzony jest w dwu rolach, których nie może wykonywac jednoczesnie?

W pkt. a)
wyszlo mi \(\displaystyle{ 3 ^{6}}\)

dobry wynik?

za to nie wiem jak zrobic punkt b) proszę o pomoc

[mat_61]

Punkt a) jest OK.

Punkt b) wskazówka:
Cztery role są obsadzone tak jak w a) czyli przez 12 osób, natomiast dwie role są obsadzone w ten sposób, że mają przypisane dwie stałe osoby oraz jedną "ruchomą" tzn. mogącą grać dowolną z tych ról.

[malyM9]

to bedzie \(\displaystyle{ 3 ^{5} \cdot 4 \cdot 6}\) ?
w pieciu rolach moze byc po 3, w jednej 4 i mozna 4 wybrac z kazdej z 6 ról

dobrze?

[mat_61]

Nie za bardzo.

Zdanie W operze każda z 6 ról ma 3 obsady odnosi się do każdego z podpunktów czyli dla b) nie jest tak, że oprócz obsady po 3 osoby na każdą rolę jest jeszcze jedna dodatkowa osoba do dwóch ról. Skoro jedna osoba może obsadzić dwie role i każda rola ma trzy obsady to oznacza, że dla podpunktu b) mamy łącznie 17 osób.

Cztery role mają po trzy obsady, natomiast dwie konkretne role powiedzmy X i Y obsadza pięć osób w taki sposób:

\(\displaystyle{ X \rightarrow a,b,c \\ Y \rightarrow a,d,e}\)

[malyM9]

Ok, będę kombinował, a mógłbyś podac jaki powinien byc prawidłowy wynik?


edit:
Czy to będzie \(\displaystyle{ 2 \cdot 3 ^{5} \cdot 6}\)
rozpisalem to sobie tak
role:
_ _ _ _ _ _
2sp 3sp 3sp 3sp 3sp 3sp

Wymnożyłem wszystko i jeszcze razy 6 bo 2 może stac przy 6 rolach.

Czy teraz się zgadza?

Jeśli nie, to proszę o rozwiązanie

[mat_61]

Nie możesz tak liczyć, bo ilość możliwych kolejnych wyborów aktorów dla ról \(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ Y}\) nie jest niezależny. Przykładowo jeżeli w roli \(\displaystyle{ X}\) obsadzisz aktora \(\displaystyle{ a}\), to wówczas do roli \(\displaystyle{ Y}\) możesz wybrać jednego z dwóch aktorów, a jeżeli w roli \(\displaystyle{ X}\) obsadzisz aktora \(\displaystyle{ b}\), to wówczas do roli \(\displaystyle{ Y}\) możesz wybrać jednego z trzech aktorów. Widzisz więc, że ilość możliwych wyborów aktora do roli \(\displaystyle{ Y}\) zależy od tego kogo wybierzesz do roli \(\displaystyle{ X}\).

Zwróć też uwagę na to Twoje mnożenie przez \(\displaystyle{ 6}\). To działanie sugeruje, że próbujesz liczyć tak jakbyś wybierał dowolną z ról w której będzie "brakować" tej jednej obsady. Ale aktor \(\displaystyle{ a}\) może być osadzony tylko w jednej z dwóch konkretnych ról.

(*) oznaczenia jak w moim wcześniejszym poście.

-- 12 paź 2012, o 19:30 --

Może takie wyjaśnienie będzie bardziej czytelne:

Masz takie możliwe obsady ról:

\(\displaystyle{ A \rightarrow x x x \\ B \rightarrow x x x \\ C \rightarrow x x x \\ D \rightarrow x x x \\ X \rightarrow a,b,c \\ Y \rightarrow a,d,e}\)

Cztery pierwsze role mają po trzech różnych aktorów do wyboru - każdy \(\displaystyle{ x}\) to inny aktor (czyli standard jak w punkcie a). Natomiast w rolach \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) powtarza się ten sam aktor \(\displaystyle{ a}\). Zgodnie z treścią zadania nie może być wybrany do obydwu ról.

Teoretycznie wszystkich możliwych par dla ról \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) możemy utworzyć \(\displaystyle{ 3^2=9}\) ale jedna para tzn.\(\displaystyle{ \left( a;a\right)}\) nie spełnia warunków zadania, czyli dla tych dwóch ról możemy role obsadzić na \(\displaystyle{ 3^2-1}\) sposobów.

[malyM9]

Czyli mam \(\displaystyle{ (3 ^{2} -1) \cdot 3 ^{4}}\)
(te dwie pary no i reszta kombinacji)
Teraz jeszcze musze wziac pod uwage to, że te pary gdzie aktor a jest przypisany do dwoch ról, mogą byc dowolnymi parami?

[mat_61]

Czyli mam \(\displaystyle{ (3 ^{2} -1) \cdot 3 ^{4}}\)
(te dwie pary no i reszta kombinacji)

Tak (choć raczej należałoby napisać te dwie role... lub ta jedna para...).

Teraz jeszcze musze wziac pod uwage to, że te pary gdzie aktor a jest przypisany do dwoch ról, mogą byc dowolnymi parami?

Nie, tak jak nie zakładasz, że jeśli np. aktor \(\displaystyle{ b}\) jest przypisany do jednej roli to jest to dowolna rola, tylko jedna konkretna, czyli rola \(\displaystyle{ X}\) .

Podobnie w punkcie a) nie zakładasz, że każdy z \(\displaystyle{ 18}\) aktorów może wykonywać dowolną rolę tylko konkretne trzy osoby są przypisane do konkretnej roli.

[malyM9]

okej no fatycznie, sa tylko dwie konkretne role w ktorych to zachodzi, a nie że zachodzi dla dwoch dowolnych, prawda?

W takim razie nalezy poprzestac na \(\displaystyle{ (3 ^{2} -1) \cdot 3 ^{4}}\)
?

[mat_61]

Tak.
Tak.