Dowód nierówności AM-GM z wykorzystaniem wzoru Newtona

[zaklopotany93]

Jak w temacie - jak to można pokazać z wykorzystaniem wzoru wielomianowego Newtona?

[nowheredense_man]

dla nieujemnych to prosto dość: podnosisz średnią arytmetyczną \(\displaystyle{ n}\) liczb \(\displaystyle{ x_1,x_2,\ldots,x_n}\) do potęgi \(\displaystyle{ n}\) i po prawej stronie stosujesz wzór wielomianowy Newtona, w którym każdy z członów jest nieujemny i gdzie pojawi się \(\displaystyle{ x_1\cdot x_2\cdot\ldots\cdot x_n}\), więc:
\(\displaystyle{ \left (\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}\right )^n\geq x_1\cdot x_2\cdot\ldots\cdot x_n}\)
skąd już w oczywisty sposób wynika ta nierówność. Czy to samo pójdzie w przypadku ogólnym? nie wiem...

[Qń]

i gdzie pojawi się \(\displaystyle{ x_1\cdot x_2\cdot\ldots\cdot x_n}\),

Jesteś pewien?

Czy to samo pójdzie w przypadku ogólnym? nie wiem...

Przecież nierówność AM-GM zachodzi tylko dla nieujemnych, więc nie ma żadnego przypadku ogólnego.

Q.

[zaklopotany93]

Liczby \(\displaystyle{ x_1,...,x_n}\) mają być nieujemne (a w zasadzie mogą być dodatnie, bo jak choćby jedna jest zerem, to nie ma czego dowodzić), ale propozycja nowheredense_man jest dla mnie niejasna. Dlaczego w każdym członie pojawi się \(\displaystyle{ x_1\cdot x_2\cdot\ldots\cdot x_n}\)? A jeśli wykładnik przy choćby jednym takim \(\displaystyle{ x_k}\) będzie zero?

[nowheredense_man]

i gdzie pojawi się \(\displaystyle{ x_1\cdot x_2\cdot\ldots\cdot x_n}\),

Jesteś pewien?

Czy to samo pójdzie w przypadku ogólnym? nie wiem...

Przecież nierówność AM-GM zachodzi tylko dla nieujemnych, więc nie ma żadnego przypadku ogólnego.

Q.

masz racje, bedzie tam jeszcze \(\displaystyle{ n^n}\) w mianowniku