Dowód nierówności AM-GM z wykorzystaniem wzoru Newtona
-
- Użytkownik
- Posty: 202
- Rejestracja: 17 wrz 2012, o 08:21
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 57 razy
- Pomógł: 9 razy
Dowód nierówności AM-GM z wykorzystaniem wzoru Newtona
Jak w temacie - jak to można pokazać z wykorzystaniem wzoru wielomianowego Newtona?
-
- Użytkownik
- Posty: 169
- Rejestracja: 27 wrz 2010, o 11:45
- Płeć: Mężczyzna
- Pomógł: 26 razy
Dowód nierówności AM-GM z wykorzystaniem wzoru Newtona
dla nieujemnych to prosto dość: podnosisz średnią arytmetyczną \(\displaystyle{ n}\) liczb \(\displaystyle{ x_1,x_2,\ldots,x_n}\) do potęgi \(\displaystyle{ n}\) i po prawej stronie stosujesz wzór wielomianowy Newtona, w którym każdy z członów jest nieujemny i gdzie pojawi się \(\displaystyle{ x_1\cdot x_2\cdot\ldots\cdot x_n}\), więc:
\(\displaystyle{ \left (\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}\right )^n\geq x_1\cdot x_2\cdot\ldots\cdot x_n}\)
skąd już w oczywisty sposób wynika ta nierówność. Czy to samo pójdzie w przypadku ogólnym? nie wiem...
\(\displaystyle{ \left (\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}\right )^n\geq x_1\cdot x_2\cdot\ldots\cdot x_n}\)
skąd już w oczywisty sposób wynika ta nierówność. Czy to samo pójdzie w przypadku ogólnym? nie wiem...
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Dowód nierówności AM-GM z wykorzystaniem wzoru Newtona
Jesteś pewien?nowheredense_man pisze:i gdzie pojawi się \(\displaystyle{ x_1\cdot x_2\cdot\ldots\cdot x_n}\),
Przecież nierówność AM-GM zachodzi tylko dla nieujemnych, więc nie ma żadnego przypadku ogólnego.Czy to samo pójdzie w przypadku ogólnym? nie wiem...
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 202
- Rejestracja: 17 wrz 2012, o 08:21
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 57 razy
- Pomógł: 9 razy
Dowód nierówności AM-GM z wykorzystaniem wzoru Newtona
Liczby \(\displaystyle{ x_1,...,x_n}\) mają być nieujemne (a w zasadzie mogą być dodatnie, bo jak choćby jedna jest zerem, to nie ma czego dowodzić), ale propozycja nowheredense_man jest dla mnie niejasna. Dlaczego w każdym członie pojawi się \(\displaystyle{ x_1\cdot x_2\cdot\ldots\cdot x_n}\)? A jeśli wykładnik przy choćby jednym takim \(\displaystyle{ x_k}\) będzie zero?
-
- Użytkownik
- Posty: 169
- Rejestracja: 27 wrz 2010, o 11:45
- Płeć: Mężczyzna
- Pomógł: 26 razy
Dowód nierówności AM-GM z wykorzystaniem wzoru Newtona
Qń pisze:Jesteś pewien?nowheredense_man pisze:i gdzie pojawi się \(\displaystyle{ x_1\cdot x_2\cdot\ldots\cdot x_n}\),Przecież nierówność AM-GM zachodzi tylko dla nieujemnych, więc nie ma żadnego przypadku ogólnego.Czy to samo pójdzie w przypadku ogólnym? nie wiem...
Q.
masz racje, bedzie tam jeszcze \(\displaystyle{ n^n}\) w mianowniku