Suma a symbol Newtona

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
lennyh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 14 lis 2009, o 22:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy

Suma a symbol Newtona

Post autor: lennyh »

Sprawdzić, czy \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{k} {n_1 \choose i} {n_2 \choose k-i} = {n_1 + n_2 \choose k}}\).

W jaki sposób to pokazać?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Suma a symbol Newtona

Post autor: norwimaj »

Interpretacja kombinatoryczna się narzuca.
Awatar użytkownika
zidan3
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 694
Rejestracja: 9 kwie 2011, o 10:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lbn
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 112 razy

Suma a symbol Newtona

Post autor: zidan3 »

Indukcja:
Baza jest łatwa do sprawdzenia.
Teza indukcyjna:(założenie wiemy jakie)
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{k} {m+1 \choose i}{n \choose k-i}=\sum_{i=0}^{k}{m \choose i}{n \choose k-i}+\sum_{i=0}^{k}{m \choose i-1}{n \choose k-i}={m+n \choose k}+\sum_{i=0}^{k-1}{m \choose i}{n \choose k-i-1}={m+n \choose k}+{m+n \choose k-1}= {m+n+1 \choose k}}\)
ODPOWIEDZ