Liczby trzycyfrowe podzielne przez 6 lub 15.

[dawid.barracuda]

Witam. Mam takie zadanie: oblicz ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 6 lub podzielnych przez 15.
Wiem, że liczby podzielne przez 6 to takie którą dzielą się na 2 i 3. Czyli na końcu mam liczby \(\displaystyle{ 0;2;4;6;8}\) a suma trzech liczb musi być podzielna przez 3.
Wiem też, że liczby podzielne przez 15 to takie, które dzielą się na 3 i 5. Czyli na końcu mamy 0 lub 5, a suma wszystkich trzech liczb musi być podzielna na 3.
Zacząłem sobie wypisywać jakie mam sytuacje przy trzycyfrowej podzielnej przez 15 z zerem na końcu, ale przestałem, bo musi być szybszy sposób o który pytam Proszę o wskazówki jak to zadanie zrobić sprytnie, czyli żeby się nie narobić. Pozdrawiam.

[kropka+]

Trzycyfrowe liczby podzielne przez \(\displaystyle{ 6}\):
pierwsza: \(\displaystyle{ 102}\)
ostatnia: \(\displaystyle{ 996}\)

Jest ich \(\displaystyle{ \frac{996-102}{6}+1=150}\)

Trzycyfrowe liczby podzielne przez \(\displaystyle{ 15}\):
pierwsza: \(\displaystyle{ 105}\)
ostatnia: \(\displaystyle{ 990}\)

Jest ich \(\displaystyle{ \frac{990-105}{15}+1=60}\)
Jednakże co druga liczba podzielna przez \(\displaystyle{ 15}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\), więc ostatecznie liczb trzycyfrowych podzielnych przez \(\displaystyle{ 6}\) lub przez \(\displaystyle{ 15}\) jest

\(\displaystyle{ 150+ \frac{60}{2}=180}\)

[dawid.barracuda]

Czemu jest plus jeden i skąd wiemy, że co druga liczba podzielna przez 15 jest podzielna przez 6?

[kropka+]

Plus jeden, bo ta pierwsza podana liczba też wchodzi w rachubę (tzn. \(\displaystyle{ 102}\) i \(\displaystyle{ 105}\)).
Co szósta liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\) a co piętnasta przez \(\displaystyle{ 15}\). Najmniejsza wspólna wielokrotność \(\displaystyle{ 6}\) i \(\displaystyle{ 15}\) to \(\displaystyle{ 30}\).

\(\displaystyle{ \frac{30}{15}=2}\) to co druga liczba podzielna przez \(\displaystyle{ 15}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\).


\(\displaystyle{ \frac{30}{6}=5}\) to co piąta liczba podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 15}\)