Uproszczenie wyrażenia

[gblablabla]

Usiłuję znaleźć prawdopodobieństwo zajścia pewnego zdarzenia, które wynosi dla \(\displaystyle{ m, k \in \mathbb{N}, k > 0}\):

\(\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{k - 1} \binom {m + i}{ i} \frac { \frac{m! \cdot (k - 1)!}{(k - 1 - i)!}} {\frac {(m + k)!}{(k - 1 - i)!}} = \sum_{i = 0}^{k - 1} \frac {(m + i)!}{i! \cdot m!} \cdot \frac {m!\cdot (k-1)!}{(m + k)!} = \sum_{i = 0}^{k - 1} \frac {(m + i)!}{i!} \cdot \frac {(k-1)!}{(m + k)!}}\)

Z tej sumy chcę pozbyć się \(\displaystyle{ i}\) oraz ostatecznie \(\displaystyle{ k}\); wiem, że się da, cały wzór oraz równości są ok, bo Wolfram sobie radzi (acz nie pokazuje w jaki sposób wynik otrzymał).
Pytanie tylko co począć?

Z góry dziękuję!