Rozdajemy dzieciom cukierki.

[dawid.barracuda]

Witam. Mam takie zadanie: na ile sposobów 8 cukierków można rozdać 5 osobom. Wiem, że jest tu pewien haczyk którego nie mogę znaleźć i że powinno wyjść 495. Próbowałem na różne sposoby i nie wiem jak to ugryźć. Proszę o wskazówki i pozdrawiam.

[pyzol]

Kombinacje z powtórzeniami próbowałeś?

[dawid.barracuda]

Nie, bo tego w szkole nie ma. Kombinacje są tylko bez powtórzeń. Jak to będzie w takim razie?

[mat_61]

Tak jak napisał pyzol są to kombinacje z powtórzeniami. Jeżeli nie ma tego w szkole, to możesz się z tym zapoznać samodzielnie (nie jest to nic trudnego).
Oczywiście alternatywą jest policzenie tego "na piechotę" w następujący sposób:

1. Rozpatrujesz podział cukierków kolejno na 1, 2, 3, 4 i 5 porcji
2. Dla każdego przypadku wybierasz odpowiednią liczbę dzieci które te cukierki dostaną.

Przykładowo:

I: podział na jedną porcję 8 cukierkową. Wybór jednej z pięciu osób która dostanie tą porcję.

II: podział na dwie porcje, czyli 1+7 lub 2+6 lub 3+5 lub 4+4. Wybór dwóch z pięciu osób (kombinacje) i przydział cukierków dla tych osób (pamiętaj, że dla dwóch porcji o takiej samej liczbie cukierków nie jest istotny podział porcji między wybrane osoby)

III: podział na trzy porcje: itd...

[dawid.barracuda]

Podział na 3 porcje to będzie np. \(\displaystyle{ 1+1+6}\), \(\displaystyle{ 1+2+5}\), itd.?

[mat_61]

Tak.

[dawid.barracuda]

Czyli rozumiem, że przy takim liczeniu na piechotę tych możliwości będzie strasznie dużo i łatwo się pomylić. Jak powinny prawidłowo być rozpisane te porcje?

[pyzol]

Gdybyś jednak chciał poczytać o kombinacjach z powtórzeniami:
257724.htm#p972871
Ostatni post. Zresztą zaraz Ci do przedstawię.

[mat_61]

Będzie sporo (raczej mniej niż strasznie dużo).

Znacznie łatwiej się pomylić niż przy liczeniu jako kombinacje z powtórzeniami, bo to tylko jeden wzór łatwy do zapamiętania. Dlaczego nie chcesz z niego skorzystać?

Prawidłowo, czyli musisz uwzględnić wszystkie możliwości.

[dawid.barracuda]

Ale ja to policzyłem tym sposobem Mi chodzi tylko o prawidłowy rozpis porcji. No dobra, rozumiem. Mija się to z celem wg mnie. Dzięki za pomoc, pozdrawiam.

[pyzol]

Masz osiem cukierków.
\(\displaystyle{ c, c, c, c, c, c, c, c}\)
Zróbmy łatwiejszy przykład. Każda osoba dostaje co najmniej jednego cukierka. To w sumie łatwe. Wystarczy zrobić 4 przegrody w przerwach między cukierkami. np.
\(\displaystyle{ c| cc|c c| c| c c}\)
Co oznacza, że:
pierwsza osoba dostała jednego cukierka,
druga dwa,
trzecia dwa ,
czwarta jednego,
piąta dwa.
Takich możliwości jest:
\(\displaystyle{ {7 \choose 4}}\)
Mamy 7 miejsc, cztery przegrody.
Teraz problem jak to zrobić, gdy dziecko może nie dostać cukierka. Dorzućmy jeszcze pięć i zróbmy tak jak wtedy. Ale od ilości cukierków, która nam wyjdzie, zabieramy jednego cukierka. Np.
\(\displaystyle{ ccc|cc|c|ccccc|cc}\). Co oznacza, że
pierwsza osoba dostała dwa cukierki,
druga jednego cukierka,
trzecia wcale,
czwarta cztery,
piąta jednego.
Wszystkich możliwości jest więc:
\(\displaystyle{ {12 \choose 4}}\)
Tyle mogę napisać na ten temat.

[mat_61]

Ale ja to policzyłem tym sposobem

Czyli którym?

Mi chodzi tylko o prawidłowy rozpis porcji.

Jak sam zauważyłeś ten sposób jest żmudny, łatwo w nim o pomyłkę i mało przydatny dla większych wartości liczbowych.

Mija się to z celem wg mnie.

Co mija się z celem? Liczenie "na piechotę" czy też zapoznanie się i zrozumienie kombinacji z powtórzeniami?
Proponuję skorzystać z rady/pomocy pyzola bo jak widać nie jest to trudne (a Tobie może się przydać w przyszłości)

[dawid.barracuda]

Tym sposobem czyli kombinacją z powtórzeniami. Bez przesadyzmu, zastosować ten wzór już potrafię Swoją drogą super metoda. Jeszcze mam pytanie - jak rozróżniać kiedy mogę stosować kombinację z powtórzeniami?

[pyzol]

Chyba kwestia doświadczenia. Zazwyczaj tyczy się podziału zbioru na \(\displaystyle{ x}\) mniejszych.
Z reguły dzielimy coś między dzieci, lub wkładamy "skarpetki" do szuflad.

[dawid.barracuda]

Ok, będę pamiętał. Dzięki jeszcze raz, pozdrawiam.