Kombinacje liczb

[gail]

Witam mam problem z pewnym zadaniem otóż mam zbiór liczb zebrany w 6 kolumnach:

I II III IV V VI
1 4 7 1 4 7
2 5 8 2 5 8
3 6 9 3 6 9

Muszę obliczyć ile jest możliwych ciągów znaków (ile pozycji) z kombinacji tych liczb
Z każdej kolumny mogę wybrać tylko jedno cyfrę. Wiem że w przykładzie powyżej odpowiedz brzmi 729 kombinacji.
tylko jak do tego dojść ??
czy jakby najpierw mamy wariację bez powtórzeń w każdej kolumnie?? tylko dalej co ??
Chodzi mi to że chciałbym zrozumieć z jakimi działaniami mamy do czynienia aby osiągnąć te wszystkie możliwe kombinacje i ten wynik 729 ???
proszę o pomoc

[miki999]

Dla pierwszej kolumny masz \(\displaystyle{ 3}\) możliwości wyboru:
\(\displaystyle{ 3}\)
Dla drugiej kolumny znowu \(\displaystyle{ 3}\) możliwości, zatem już jest:
\(\displaystyle{ 3 \cdot 3}\)
Dla trzeciej kolumny znowu \(\displaystyle{ 3}\) możliwości, zatem już jest:
\(\displaystyle{ 3 \cdot 3 \cdot 3}\)
...
Dla szóstej kolumny znowu \(\displaystyle{ 3}\) możliwości, zatem ostatecznie jest:
\(\displaystyle{ 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3=3^6=729}\)



Pozdrawiam.

[gail]

ok tylko jak nazwać to co robię czy w takim razie można to uznać za wariację z powtórzeniami ??
muszę po prostu ładnie opisać to w jaki sposób do tego się dochodzi.
liczbowo sobie poradziłem.
Tylko muszę ogarnąć to od strony teoretycznej.

[miki999]

Myślę, że można to tak nazwać, chociaż może ktoś jest bardziej rozgarnięty, jeśli chodzi o terminologię.

[mat_61]

W tym przypadku nie można tego nazwać wariacją z powtórzeniami, ponieważ taki wybór liczb jak w zadaniu nie jest zgodny z definicją wariacji, bo nie tworzymy ciągu z elementów danego zbioru, ale każdy kolejny element ciągu jest wybierany z innego zbioru.

W tym zadaniu korzystamy z twierdzenia o mnożeniu:

Liczba wszystkich różnych ciągów \(\displaystyle{ \left( x_{1};x_{2};...;x_{k}\right)}\) takich, że element \(\displaystyle{ x_{i} \left( i=1;2;...;k\right) }}\) można wybrać na \(\displaystyle{ n_{i}}\) sposobów jest równa \(\displaystyle{ n_{1} \cdot n_{2} \cdot ... \cdot n_{k}}\)

------------------------------------

Ponadto zadanie jest nieprecyzyjnie sformułowane (chyba, że nie przepisałeś go dokładnie), ponieważ nigdzie w treści nie jest powiedziane, że te cyfry z kolejnych kolumn są kolejnymi wyrazami tworzonego ciągu (można to wywnioskować tylko na podstawie odpowiedzi do zadania).

czy jakby najpierw mamy wariację bez powtórzeń w każdej kolumnie?

Ponieważ mamy do wyboru tylko jeden element zbioru, to formalnie nie ma znaczenia, czy będzie to wariacja z powtórzeniami czy bez powtórzeń albo kombinacja z powtórzeniami lub bez powtórzeń.

[gail]

Dzięki wielkie teraz już wiem w którą stronę szukać

zadanie w zasadzie było z głowy wymyślone, stąd też moja wina za niedokładność i brak precyzji.
Jeszcze raz dzięki