nierówność z silnią

[Andreas]

Dla jakiego \(\displaystyle{ k > 2n}\) spełniona jest nierówność
\(\displaystyle{ (2n)! (k-2n)! > n! (k-n)!}\)

PS. Jak inaczej można zapisać \(\displaystyle{ (2n)!}\) ?

[norwimaj]

Dla jakiego k > 2n spełniona jest nierówność
\(\displaystyle{ (2n)! (k-2n)! > n! (k-n)!}\)

Jest ona równoważna nierówności

\(\displaystyle{ \binom kn>\binom k{2n},}\)

która nie powinna być trudna do rozwiązania.

PS. Jak inaczej można zapisać \(\displaystyle{ (2n)!}\) ?

\(\displaystyle{ (n\cdot2)!}\)

[Andreas]

Dla jakiego k > 2n spełniona jest nierówność
\(\displaystyle{ (2n)! (k-2n)! > n! (k-n)!}\)

Jest ona równoważna nierówności

\(\displaystyle{ \binom kn>\binom k{2n},}\)

która nie powinna być trudna do rozwiązania.

Hehe, z tego właśnie równania wychodziłem i doszedłem do tego (które napisałem). A dla mnie jest trudna do rozwiązania, dlatego tu napisałem temat .

PS. Jak inaczej można zapisać \(\displaystyle{ (2n)!}\) ?

\(\displaystyle{ (n\cdot2)!}\)

No ale to jest to samo . Chodziło mi o to czy da się to rozpisać...

[norwimaj]

Hehe, z tego właśnie równania wychodziłem i doszedłem do tego (które napisałem).

No to sobie utrudniłeś. Jak wygląda (mniej więcej) wykres ciągu \(\displaystyle{ \binom kn}\) dla ustalonego \(\displaystyle{ k}\)?

No ale to jest to samo

Tak zrozumiałem, że ma być to samo. Inaczej \(\displaystyle{ (2n)!}\) można zapisać jako \(\displaystyle{ 2n\cdot(2n-1)\cdot(2n-2)\cdot\ldots\cdot3\cdot2\cdot1}\) albo \(\displaystyle{ (2n)\cdot(2n-1)!}\) albo \(\displaystyle{ (2n)\cdot(2n-1)\cdot(2(n-1))!}\).

[Andreas]

Hehe, z tego właśnie równania wychodziłem i doszedłem do tego (które napisałem).

No to sobie utrudniłeś. Jak wygląda (mniej więcej) wykres ciągu \(\displaystyle{ \binom kn}\) dla ustalonego \(\displaystyle{ k}\)?

\(\displaystyle{ {k \choose n} = \frac{k!}{n!(k-n)!}}\)
Tyle to wiem, ale co dalej?

Jak zrobić to zadanie?

[norwimaj]

Jak wygląda wykres ciągu \(\displaystyle{ \binom kn}\) dla ustalonego \(\displaystyle{ k}\)?

[Andreas]

Nie mam pojęcia.

[norwimaj]

Co jest większe:

\(\displaystyle{ \binom{100000}{304}}\) czy \(\displaystyle{ \binom{100000}{462}}\) ?

\(\displaystyle{ \binom{100000}{124}}\) czy \(\displaystyle{ \binom{100000}{99829}}\) ?

[Andreas]

Ta druga jest większa.
A jeśli chodzi o ciąg to jeśli \(\displaystyle{ n \rightarrow k}\), to \(\displaystyle{ {k \choose n} \rightarrow 1}\). Ale co to ma do zadania?

[norwimaj]

Ta druga jest większa.

Ogólniej co możesz powiedzieć o monotoniczności ciągu \(\displaystyle{ \binom kn}\) przy ustalonym \(\displaystyle{ k}\) i zmiennym \(\displaystyle{ n}\)?

A jeśli chodzi o ciąg to jeśli \(\displaystyle{ n \rightarrow k}\), to \(\displaystyle{ {k \choose n} \rightarrow 1}\).

To nie ma sensu niestety.