kongruencja studia

[aresik88]

Witam wszystkich, zadanie pochodzi z kolokwium z Matematyki Dyskretnej. Należy znaleźć zbiór rozwiązań podanego układu:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x\equiv 1 \pmod{3}\\ x\equiv 1 \pmod{6}\\ x\equiv 1 \pmod{7} \end{array}}\)
Kompletnie nie wiem jak je rozwiązać. Myślałem o chińskim tw. o resztach, ale liczby mod nie są względnie pierwsze więc odpada :/

[Qń]

Zauważ, że:
\(\displaystyle{ x\equiv 1 \pmod{6} \Leftrightarrow x\equiv 1 \pmod{2} \wedge x\equiv 1 \pmod{3}}\)

Q.

[aresik88]

Ok, czyli zamiast tego ukł. powinienem rozwiązać ten układ:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x\equiv_{2} 1\\x\equiv_{3} 1\\x\equiv_{7} 1 \end{array}}\)
no to lecę z chińskiego tw. o resztach:
\(\displaystyle{ N=2 \cdot 3 \cdot 7=42}\)

\(\displaystyle{ n_{1} = 21, n_{2} = 14, n_{3} = 6}\)

\(\displaystyle{ x_{1} = 1, x_{2} = 2, x_{3} = 6}\)

czyli \(\displaystyle{ x=2 \cdot 1 \cdot 21 + 3 \cdot 2 \cdot 14 + 7 \cdot 6 \cdot 6=378\equiv_{42} 0}\)
dobrze, czy coś pominąłem? I jaki to będzie zbiór rozwiązań skoro wyszło "0" ?

[Qń]

Nie bardzo wiem co robisz, natomiast gołym okiem widać, że rozwiązaniem układu jest jedynka (z dokładnością do wielokrotności liczby \(\displaystyle{ 42}\)). Do tego wyniku można dojść stosując algorytm z Wikipedii lub system niezależnych reszt z książki Matematyka konkretna. Można też liczyć "na piechotę".

Q.