Kilka zadań z matematyki dyskretnej

[Malvor]

Czy ktoś jest w stanie pomóc mi z następującymi zadaniami?

1. Graf \(\displaystyle{ G}\) o \(\displaystyle{ 21}\) krawędziach ma:
- \(\displaystyle{ 7}\) wierzchołków stopnia \(\displaystyle{ 1}\)
- \(\displaystyle{ 3}\) wierzchołki stopnia \(\displaystyle{ 2}\)
- \(\displaystyle{ 7}\) wierzchołków stopnia \(\displaystyle{ 3}\)
- pozostałe wierzchołki są stopnia \(\displaystyle{ 4}\)

Oblicz liczbę wierzchołków w tym grafie

2. Dla jakich \(\displaystyle{ n}\), graf jest Eulerowski, a dla jakich Hamiltonowski. (\(\displaystyle{ n\ge 3, kn}\))

I dwa pytania pozakonkursowe. Jak wygląda graf \(\displaystyle{ C_3+C_3}\) a jak \(\displaystyle{ P_2+C_3}\)

[Mistrz]

W pierwszym wystarczy zauważyć, że suma stopni wierzchołków w grafie to podwojona liczba krawędzi.

[TMac]

2. Wiesz co znaczy to \(\displaystyle{ kn}\) z nawiasu? Bo bez tego założenia to dla każdego \(\displaystyle{ n}\) można narysować i taki, i taki. A jak już wiesz to jaki stopień ma każdy wierzchołek? No i teraz do Eulera to wystarczy zastosować warunek konieczny i wystarczający (graf ma cykl Eulera wtw gdy?), a do Hamiltona np. twierdzenie Orego.