Takie zadanie było na egzaminie, ale raczej nie mam pomysłu jak zrobić (tym bardziej że nie ma odpowiedzi, to nie mam pewności co do ewentualnego wyniku). Szczególnie sformułowanie "5 nie jest punktem stałym" mnie irytuje, bo nie wiem co zmienia.
W ilu permutacjach 1,2,...,9 pierwsza cyfra jest większa od 2, ostatnia jest mniejsza niż 8, zaś liczba 5 nie jest punktem stałym?
Wymyśliłem coś takiego:
\(\displaystyle{ (6*8!)*2}\)
Ale czuje że to by było zbyt łatwe.
PS. Jeśli się skompromitowałem to wina późnej pory .
Uporządkowanie cyfr
- scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
Uporządkowanie cyfr
Przypuszczam, że chodzi o to, że liczba 5 nie stoi na środku. Trzeba skorzystać z reguły włącz-wyłącz.
- wszystkich permutacji jest \(\displaystyle{ 9!}\)
- pierwsza cyfra to \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\) \(\displaystyle{ 2 \cdot 8!}\)
- piątka na środku \(\displaystyle{ 8!}\)
- ostatnia cyfra to \(\displaystyle{ 8}\) lub \(\displaystyle{ 9}\) \(\displaystyle{ 2 \cdot 8!}\)
- pierwsza cyfra to \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\) i piątka na środku \(\displaystyle{ 2 \cdot 7!}\)
- pierwsza cyfra to \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\) i ostatnia cyfra to \(\displaystyle{ 8}\) lub \(\displaystyle{ 9}\) \(\displaystyle{ 2 \cdot 2 \cdot 7!}\)
- ostatnia cyfra to \(\displaystyle{ 8}\) lub \(\displaystyle{ 9}\) i piątka na środku \(\displaystyle{ 2 \cdot 7!}\)
- pierwsza cyfra to \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\) i piątka na środku i ostatnia cyfra to \(\displaystyle{ 8}\) lub \(\displaystyle{ 9}\) \(\displaystyle{ 2 \cdot 2 \cdot 6!}\)
Stąd szukana liczba to:
\(\displaystyle{ 9! - 2 \cdot 8! - 8! - 2 \cdot 8! + 2 \cdot 7! + 2 \cdot 2 \cdot 7! + 2 \cdot 7! - 2 \cdot 2 \cdot 6!}\)
- wszystkich permutacji jest \(\displaystyle{ 9!}\)
- pierwsza cyfra to \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\) \(\displaystyle{ 2 \cdot 8!}\)
- piątka na środku \(\displaystyle{ 8!}\)
- ostatnia cyfra to \(\displaystyle{ 8}\) lub \(\displaystyle{ 9}\) \(\displaystyle{ 2 \cdot 8!}\)
- pierwsza cyfra to \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\) i piątka na środku \(\displaystyle{ 2 \cdot 7!}\)
- pierwsza cyfra to \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\) i ostatnia cyfra to \(\displaystyle{ 8}\) lub \(\displaystyle{ 9}\) \(\displaystyle{ 2 \cdot 2 \cdot 7!}\)
- ostatnia cyfra to \(\displaystyle{ 8}\) lub \(\displaystyle{ 9}\) i piątka na środku \(\displaystyle{ 2 \cdot 7!}\)
- pierwsza cyfra to \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\) i piątka na środku i ostatnia cyfra to \(\displaystyle{ 8}\) lub \(\displaystyle{ 9}\) \(\displaystyle{ 2 \cdot 2 \cdot 6!}\)
Stąd szukana liczba to:
\(\displaystyle{ 9! - 2 \cdot 8! - 8! - 2 \cdot 8! + 2 \cdot 7! + 2 \cdot 2 \cdot 7! + 2 \cdot 7! - 2 \cdot 2 \cdot 6!}\)