Wyznacz wyraz rozwinięcia \(\displaystyle{ (x^{3}+\frac{1}{x})^{15}}\) \(\displaystyle{ (x\neq 0)}\) który zawiera\(\displaystyle{ x^{5}}\)
Wielkie dzieki za rozwiazanie:-)
Dwumian Newtona
-
kinwotar
- Użytkownik
- Posty: 91
- Rejestracja: 30 sty 2007, o 21:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 21 razy
Dwumian Newtona
Jest taki wzór:
\(\displaystyle{ (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}a^{n-k}b^{k}}\)
Wykorzystując ten wzór w treści zadania dostajemy
\(\displaystyle{ x^5=(x^{3})^{15-k}\frac{1}{x^k}=\frac{x^{45-3k}}{x^k}=x^{45-4k}}\)
Z różnowartościowości funkcji otrzymujemy
\(\displaystyle{ 5=45-4k}\)
\(\displaystyle{ k=10}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ {n\choose k}a^{n-k}b^{k}={15\choose 10}x^{5}=3003x^{5}}\)
\(\displaystyle{ (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}a^{n-k}b^{k}}\)
Wykorzystując ten wzór w treści zadania dostajemy
\(\displaystyle{ x^5=(x^{3})^{15-k}\frac{1}{x^k}=\frac{x^{45-3k}}{x^k}=x^{45-4k}}\)
Z różnowartościowości funkcji otrzymujemy
\(\displaystyle{ 5=45-4k}\)
\(\displaystyle{ k=10}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ {n\choose k}a^{n-k}b^{k}={15\choose 10}x^{5}=3003x^{5}}\)