Szacowanie mocy zbiorów i sum

[dusiek]

1) \(\displaystyle{ \left|\left\{\left\langle a,b,c\right\rangle \in N^{3}:a^{2}+b^{2}+c^{3} \le n \right\}\right|}\) z błędem bezwzględnym \(\displaystyle{ O\left( n\right)}\).

2) Udowodnić, że \(\displaystyle{ \left| \left\{ \left\langle a,b \right\rangle \in N^{2}:a^{2}+b^{2} \le n \right\} \right| =\frac{ \pi }{4}n + O\left( \sqrt{n} \right)}\).

3) Oszacować sumę \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{\lg i}{\sqrt{i}}}\) z błędem względnym \(\displaystyle{ O\left( 1\right)}\)

Prosiłbym o wskazówki do każdego z tych podpunktów

[norwimaj]

2. Można to szacować przez pole powierzchni ćwiartki koła o promieniu ok. \(\displaystyle{ \sqrt{n}}\). Dokładnie trzeba się zastanowić, jakie promienie trzeba dobrać do szacowania z góry i z dołu, żeby były to prawdziwe szacowania. Będzie to coś w rodzaju \(\displaystyle{ \frac{\pi}4(\sqrt{n}-1)^2\le \left| \left\{ \left\langle a,b \right\rangle \in N^{2}:a^{2}+b^{2} \le n \right\} \right| \le \frac{\pi}4(\sqrt{n})^2}\), ale już sam sprawdź czy to działa czy trzeba trochę zmienić.

1. Gdyby tam było \(\displaystyle{ c^2}\) a nie \(\displaystyle{ c^3}\), toby można było zrobić tak jak 2. i błąd byłby \(\displaystyle{ O(n)}\). Spróbuj policzyć objętość zbioru \(\displaystyle{ \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x^2+y^2+z^3\le n\}}\). Może to da oszacowanie z właściwym błędem?

3. Zbadaj monotoniczność ciągu \(\displaystyle{ \frac{\lg i}{\sqrt{i}}}\). Jeśli okaże się malejący (choćby od pewnego miejsca), to można tę sumę szacować przez całkę.