W wyborach wydziału startuje po 20 osób z każdego kierunku

[johanneskate]

W wyborach wydziału startuje po 20 osób z każdego z trzech kierunków. Na ile sposobów można je wybrać, tak by z każdego kierunku wybrano przynajmniej po 3 osoby?

Podchodzę do tego zadania w taki sposób. Najpierw wybieram te 3 osoby z każdego z kierunków. \(\displaystyle{ {20 \choose 3}}\) - jest liczbą podzbiorów 3-eementowych zbioru 20-elementowego.

Więc liczbą wyborów po 3 osoby z każdego kierunku będzie:
\(\displaystyle{ {20 \choose 3} {20 \choose 3} {20 \choose 3}}\)

Pozostaje nam wybrać 3 osoby z pozostałych 51, więc dochodzi czynnik:
\(\displaystyle{ {51 \choose 3}}\), więc ostatecznie:

\(\displaystyle{ {20 \choose 3} {20 \choose 3} {20 \choose 3} {51 \choose 3}}\)

Czy wynik oraz rozumowanie są prawidłowe?

[pyzol]

Jeden układ wybierzesz na kilka sposobów. Weźmy, najpierw, że pan "Jan" nie znalazł się w pierwszej trój, jednak znalazł się później, to to samo co gdyby pan Jan najpierw został wybrany. Sprawdź sobie na 6 kandydatach z 3 ugrupowiań, 4 zostanie wybranych.

[johanneskate]

Masz rację. Moje rozwiązanie (początkowa jego część) byłaby prawdziwa gdybyśmy rozróżniali to kiedy wybraliśmy pana "Jana", a my tego nie rozróżniamy, interesuje nas tylko to, że znalazł się w naszej wybranej grupie.

Czyli muszę wybrać takie podzbiory, żeby pan Jan się nie powtórzył w kolejnym? Jest na to jakiś inny symbol?

[pyzol]

Wpiszę Ci odpowiedź, która wg mnie jest prawidłowa:
\(\displaystyle{ {20 \choose 4}{20 \choose 4}{20 \choose 4}+6\cdot {20 \choose 5}{20 \choose 4}{20 \choose 3}+3{20 \choose 6}{20 \choose 3}{20 \choose 3}}\)