Udowodnij, że podziałów liczby n, w których nie występują składniki podzielne przez 4 jest tyle samo, co podziałów liczby n, w których każdy składnik występuje co najwyżej 3 razy.
Nie wiem jak się zabrać za to, kombinowałem coś z diagramem Ferrersa, ale nie szło.
Podziały liczby n
-
acmilan
- Użytkownik
- Posty: 402
- Rejestracja: 27 kwie 2009, o 15:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa-Praga
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 50 razy
Podziały liczby n
Hm, tylko jak? Może tak:
Brak składników podzielnych przez 4: \(\displaystyle{ (1+x+x^{2}+x^{3}+x^{5}...)^{n}}\)
Każdy składnik najwyżej 3 razy: \(\displaystyle{ \left[ (1+x)(1+x^{2})(1+x^{3})...\right]^{3}}\)
Brak składników podzielnych przez 4: \(\displaystyle{ (1+x+x^{2}+x^{3}+x^{5}...)^{n}}\)
Każdy składnik najwyżej 3 razy: \(\displaystyle{ \left[ (1+x)(1+x^{2})(1+x^{3})...\right]^{3}}\)
-
adambak
- Użytkownik
- Posty: 1272
- Rejestracja: 8 sty 2011, o 18:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 295 razy
- Pomógł: 115 razy
Podziały liczby n
brak składników podzielnych przez \(\displaystyle{ 4}\): \(\displaystyle{ (1+x+x^2+x^3...)(1+x^2+x^4+x^6+...)(1+x^3+x^6+x^9+...)(1+x^5+x^{10}+x^{15}+...)...}\)
każdy składnik najwyżej \(\displaystyle{ 3}\) razy: \(\displaystyle{ \prod_{n\ge 1}^{} \left( 1+x^{n}+x^{2n}+x^{3n}\right)}\)
czy wiesz czemu tak się dzieje? to jest jak z mnożeniem wielomianów i sprawdzaniem współczynnika przy \(\displaystyle{ x^n}\), żeby zobaczyć ilość rozwiązań równania czy czegoś tam.. tylko interpretacja jest inna - jeśli lubisz diagramy Ferrersa to z pierwszego nawiasu bierzemy ilość jedynek do niego, z drugiego dwójek i tak dalej.. a więc kolejność składników się nie liczy..
no to teraz potraktuj wszystko wzorem na sumę postępu geometrycznego i zobacz czy zachodzi równość..
każdy składnik najwyżej \(\displaystyle{ 3}\) razy: \(\displaystyle{ \prod_{n\ge 1}^{} \left( 1+x^{n}+x^{2n}+x^{3n}\right)}\)
czy wiesz czemu tak się dzieje? to jest jak z mnożeniem wielomianów i sprawdzaniem współczynnika przy \(\displaystyle{ x^n}\), żeby zobaczyć ilość rozwiązań równania czy czegoś tam.. tylko interpretacja jest inna - jeśli lubisz diagramy Ferrersa to z pierwszego nawiasu bierzemy ilość jedynek do niego, z drugiego dwójek i tak dalej.. a więc kolejność składników się nie liczy..
no to teraz potraktuj wszystko wzorem na sumę postępu geometrycznego i zobacz czy zachodzi równość..
-
acmilan
- Użytkownik
- Posty: 402
- Rejestracja: 27 kwie 2009, o 15:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa-Praga
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 50 razy
Podziały liczby n
Tak, rozumiem Twoją interpretację.
Chyba mam jakieś zaćmienie, bo nie idzie mi :/
Czyli żądamy równości:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-x}\cdot \frac{1}{1-x^{2}}\cdot \frac{1}{1-x^{3}}\cdot \frac{1}{1-x^{5}}\cdot ...=}\)
\(\displaystyle{ =(1+x)\cdot (1+x^{2})\cdot (1+x^{3})\cdot...\cdot (1+x^{2})(1+x^{4})(1+x^{6})\cdot...}\)
No i z tego nic nie wychodzi...
Chyba mam jakieś zaćmienie, bo nie idzie mi :/
Czyli żądamy równości:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-x}\cdot \frac{1}{1-x^{2}}\cdot \frac{1}{1-x^{3}}\cdot \frac{1}{1-x^{5}}\cdot ...=}\)
\(\displaystyle{ =(1+x)\cdot (1+x^{2})\cdot (1+x^{3})\cdot...\cdot (1+x^{2})(1+x^{4})(1+x^{6})\cdot...}\)
No i z tego nic nie wychodzi...
Podziały liczby n
\(\displaystyle{ \prod_{n\ge 1}^{} \left( 1+x^{n}+x^{2n}+x^{3n}\right) = \prod_{n\ge 1}^{} \frac{1 - x^{4n} }{1 - x^{n}} = \frac{1 - x^{4} }{1 - x} \cdot \frac{1 - x^{8} }{1 - x^{2}} \cdot \frac{1 - x^{12} }{1 - x^{3}} \cdot \frac{1 - x^{16} }{1 - x^{4}} \cdot ... = \\ = \frac{1}{1-x} \cdot \frac{1}{1-x^{2}}\cdot \frac{1}{1-x^{3}}\cdot \frac{1}{1-x^{5}} \cdot ...}\)