Zadanie:
Jest 7 osób, wśród nich są dwie pary braci.
Na ile sposobów można rozdzielić te 7 osób na trzy zespoły tak, żeby bracia z każdej pary trafili do różnych zespołów?
Jak najlepiej rozwiązać taki problem?
Dziekuję
Podział osób na grupy
Podział osób na grupy
Ostatnio zmieniony 31 sie 2012, o 23:01 przez zaqzaq1, łącznie zmieniany 1 raz.
-
tommasz
- Użytkownik
- Posty: 54
- Rejestracja: 17 sie 2011, o 11:27
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1 raz
Podział osób na grupy
Ukryta treść:
Zakładam, że bracia są nie rozróżniali. Wybieram do której drużyny przydzielić jednego brata, a następnie wybieram drużynę dla drugiego brata:
\(\displaystyle{ {3\choose 1}{2\choose 1}}\)
Tak samo robimy z drugą parą i otrzymujemy rozlokowanie dwóch par braci:
\(\displaystyle{ {3\choose 1}{2\choose 1}{3\choose 1}{2\choose 1} = {3\choose 1}^2 {2\choose 1}^2}\)
Teraz jeszcze trzeba rozlokować pozostałe 4 osoby, więc dla każdej wybieramy drużynę:
\(\displaystyle{ {3\choose 1}^3}\)
Otrzymując:
\(\displaystyle{ {2\choose 1}^2{3\choose 1}^5}\)
Wszystko byłoby fajnie, ale może się okazać, że otrzymamy dwie grupy ludzi, a nie trzy. Te przypadki musimy wyeliminować:
Tak jak poprzednio wybieramy drużyny dla braci (teraz możemy wybrać tylko z dwóch grup):
\(\displaystyle{ {2\choose 1}{1\choose 1}{2\choose 1}{1\choose 1}={2\choose 1}^2}\)
Z pozostałymi osobami robimy podobnie i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ {2\choose 1}^5}\)
Takie dwie drużyny mogą powstać przez usunięcie z trzech grup jednej, można tą drużynę wybrać na \(\displaystyle{ {3\choose 1}}\) sposobów
Więc koniec końców mamy:
\(\displaystyle{ {2\choose 1}^2{3\choose 1}^5-{3\choose 1}{2\choose 1}^5}\)
(w ogóle zapewne nie trzeba tutaj używać symbolu Newtona, tylko podział między drużyny jest na 3, 2 lub 1 sposoby)
Proszę o sprawdzenie.
Ostatnio zmieniony 1 wrz 2012, o 20:30 przez tommasz, łącznie zmieniany 2 razy.