Zbiory, relacje, zliczanie, kwantyfikatory - sprawdzenie
- Marmite
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 25 kwie 2011, o 13:14
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 2 razy
Zbiory, relacje, zliczanie, kwantyfikatory - sprawdzenie
Witajcie. Zbliża mi się powoli poprawka z dyskretnej, dlatego proszę o sprawdzenie kilku zadań z egzaminu podstawowego.
1. Mamy:
\(\displaystyle{ A=\left\{ 1,2,3, \left\{ 1,2,3 \right\} \right\} \\
B=\left\{ \left\{ 1,2 \right\} 1,2 \right\} \\
C=\left\{ \left\{ 1,2,3 \right\} 1,2 \right\}}\)
Wyznaczyć moce poniższych zbiorów:
\(\displaystyle{ a) \left( A \setminus B \right) \cup C \\
b) \left( B \setminus A \right) \setminus (B \times C) \\
c) \left( C \cup A \right) \setminus \left( A \setminus B \right) \\
d) \left( A \cup B \right) \times C}\)
Moje odpowiedzi to:
a) 4
b) 1
c) 2
d) 15
Na egzaminie schrzaniłem, bo uwzględniłem elementy które się powtarzały ;/
2. Uniwersum jest niepustym zbiorem studentów. Definiujemy następujące predykaty:
\(\displaystyle{ L\left(x,y\right)}\) - \(\displaystyle{ y}\) jest lubiany przez \(\displaystyle{ x}\)
\(\displaystyle{ M\left(x\right)}\) - \(\displaystyle{ x}\) lubi matematykę
\(\displaystyle{ R\left(x,y\right) \Leftrightarrow x=y}\)
Wyraź w języku predykatów pierwszego rzędu, korzystając wyłącznie ze zdefiniowanych powyżej predykatów następujące zdania:
a) Dokładnie jeden student lubi wszystkich studentów
b) Wszyscy lubią studentów, którzy lubią matematykę
c) Jest co najmniej jeden student, który lubi matematykę i nie lubi żadnego studenta poza sobą
Moje odpowiedzi:
a) \(\displaystyle{ \exists s \in U \left(M\left(s\right)\right) \wedge \forall x \in U \left(M\left(x\right) \rightarrow R\left(x,s\right)\right)}\)
b) \(\displaystyle{ \forall s \in U \left(M\left(s\right) \rightarrow \forall x \in U \left(L\left(x,s\right)\right)\right)}\)
c) \(\displaystyle{ \exists s \in U \left(M\left(s\right) \wedge \left(\forall x \in U \left(L\left(s,x\right) \rightarrow R\left(s,x\right)\right)\right)}\)
3. Wyznacz liczbę relacji
a) Porządku częściowego w zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3 \right\}}\)
b) Porządku liniowego w zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}}\)
c) Typu równoważności w zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3 \right\}}\)
Moje odpowiedzi (tutaj żadnej nie jestem pewien bo nie jestem pewien czy dobrze rozumiem zadanie):
a) 6
b) 30? (bo jest 6 elementów i każdy jest w relacji z pozostałymi 5)
c) 12 albo 9 (zależy czy relacja zwrotna liczy się raz czy dwa razy)
4. Przedstaw przykład relacji równoważności w zbiorze liczb naturalnych, która ma dokładnie cztery kalsy abstrakcji - dwie skończone i dwie nieskończone.
Tutaj zupełnie nie byłem pewien co wpisać więc wpisałem takie coś:
\(\displaystyle{ xRy \Leftrightarrow x > y \vee x = 2y \vee x+y<100 \vee x+y=10}\)
No właśnie, pierwsze 2 są nieskończone, następne skończone, tylko nie wiedziałem czy mam tam powstawiać "lub" czy jak to zapisać...
5. Na ile sposobów można ułożyć 12-literowe słowo z liter \(\displaystyle{ \left\{ a,b,c \right\}}\) aby
a) każda litera wystąpiła dokładnie 4 razy
b) dokładnie jedna litera wystąpiła dokładnie jeden raz
c) litera "a" i litera "b" wystąpiły dokładnie 3 razy
Moje odpowiedzi:
a) \(\displaystyle{ \frac{12!}{4! \cdot 4! \cdot 4!}}\)
To samo napisałem na egzaminie i wydaje się być słuszne. W końcu 12 literek mieszam na różne sposoby i wywalam powtarzające się słowa
b) \(\displaystyle{ 3 \cdot 12 \cdot 2^{11}}\)
Wybieramy jedną z 3 literek, stawiamy ją na jednym z dwunastu miejsc, a pozostałe 11 możemy wypełnić każde na 2 sposoby. Na egzaminie w tym podpunkcie napisałem dokładnie to samo.
c) Tutaj mam trochę problem, bo na egzaminie zrozumiałem to zupełnie inaczej, niż rozwiązując dzisiaj. Dzisiaj założyłem, że w sumie mają liter "a" i/lub "b" ma być 3, stąd odpowiedź:
\(\displaystyle{ {12 \choose 3} \cdot 2^{3}}\)
Wybieramy 3 miejsca z 12 na których będą stać te literki, następnie każde z tych miejsc możemy wypełnić na 2 sposoby.
Na egzaminie natomiast zrozumiałem, że każda z tych liter ma się pojawić dokładnie 3 razy, co zaprowadziło do odpowiedzi:
\(\displaystyle{ \frac{12!}{3! \cdot 3! \cdot 6!}}\)
stawiamy w słowie 3 litery "a", 3 "b", 6 "c" i permutujemy, pomijając powtarzające się wyrazy.
Proszę o sprawdzenie, ewentualnie udzielenie wskazówek, gdyby coś było źle. Zależy mi na zrozumieniu popełnionych przeze mnie błędów (jeśli takowe były - a raczej były, bo inaczej bym nie musiał martwić się poprawką )
1. Mamy:
\(\displaystyle{ A=\left\{ 1,2,3, \left\{ 1,2,3 \right\} \right\} \\
B=\left\{ \left\{ 1,2 \right\} 1,2 \right\} \\
C=\left\{ \left\{ 1,2,3 \right\} 1,2 \right\}}\)
Wyznaczyć moce poniższych zbiorów:
\(\displaystyle{ a) \left( A \setminus B \right) \cup C \\
b) \left( B \setminus A \right) \setminus (B \times C) \\
c) \left( C \cup A \right) \setminus \left( A \setminus B \right) \\
d) \left( A \cup B \right) \times C}\)
Moje odpowiedzi to:
a) 4
b) 1
c) 2
d) 15
Na egzaminie schrzaniłem, bo uwzględniłem elementy które się powtarzały ;/
2. Uniwersum jest niepustym zbiorem studentów. Definiujemy następujące predykaty:
\(\displaystyle{ L\left(x,y\right)}\) - \(\displaystyle{ y}\) jest lubiany przez \(\displaystyle{ x}\)
\(\displaystyle{ M\left(x\right)}\) - \(\displaystyle{ x}\) lubi matematykę
\(\displaystyle{ R\left(x,y\right) \Leftrightarrow x=y}\)
Wyraź w języku predykatów pierwszego rzędu, korzystając wyłącznie ze zdefiniowanych powyżej predykatów następujące zdania:
a) Dokładnie jeden student lubi wszystkich studentów
b) Wszyscy lubią studentów, którzy lubią matematykę
c) Jest co najmniej jeden student, który lubi matematykę i nie lubi żadnego studenta poza sobą
Moje odpowiedzi:
a) \(\displaystyle{ \exists s \in U \left(M\left(s\right)\right) \wedge \forall x \in U \left(M\left(x\right) \rightarrow R\left(x,s\right)\right)}\)
b) \(\displaystyle{ \forall s \in U \left(M\left(s\right) \rightarrow \forall x \in U \left(L\left(x,s\right)\right)\right)}\)
c) \(\displaystyle{ \exists s \in U \left(M\left(s\right) \wedge \left(\forall x \in U \left(L\left(s,x\right) \rightarrow R\left(s,x\right)\right)\right)}\)
3. Wyznacz liczbę relacji
a) Porządku częściowego w zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3 \right\}}\)
b) Porządku liniowego w zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}}\)
c) Typu równoważności w zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3 \right\}}\)
Moje odpowiedzi (tutaj żadnej nie jestem pewien bo nie jestem pewien czy dobrze rozumiem zadanie):
a) 6
b) 30? (bo jest 6 elementów i każdy jest w relacji z pozostałymi 5)
c) 12 albo 9 (zależy czy relacja zwrotna liczy się raz czy dwa razy)
4. Przedstaw przykład relacji równoważności w zbiorze liczb naturalnych, która ma dokładnie cztery kalsy abstrakcji - dwie skończone i dwie nieskończone.
Tutaj zupełnie nie byłem pewien co wpisać więc wpisałem takie coś:
\(\displaystyle{ xRy \Leftrightarrow x > y \vee x = 2y \vee x+y<100 \vee x+y=10}\)
No właśnie, pierwsze 2 są nieskończone, następne skończone, tylko nie wiedziałem czy mam tam powstawiać "lub" czy jak to zapisać...
5. Na ile sposobów można ułożyć 12-literowe słowo z liter \(\displaystyle{ \left\{ a,b,c \right\}}\) aby
a) każda litera wystąpiła dokładnie 4 razy
b) dokładnie jedna litera wystąpiła dokładnie jeden raz
c) litera "a" i litera "b" wystąpiły dokładnie 3 razy
Moje odpowiedzi:
a) \(\displaystyle{ \frac{12!}{4! \cdot 4! \cdot 4!}}\)
To samo napisałem na egzaminie i wydaje się być słuszne. W końcu 12 literek mieszam na różne sposoby i wywalam powtarzające się słowa
b) \(\displaystyle{ 3 \cdot 12 \cdot 2^{11}}\)
Wybieramy jedną z 3 literek, stawiamy ją na jednym z dwunastu miejsc, a pozostałe 11 możemy wypełnić każde na 2 sposoby. Na egzaminie w tym podpunkcie napisałem dokładnie to samo.
c) Tutaj mam trochę problem, bo na egzaminie zrozumiałem to zupełnie inaczej, niż rozwiązując dzisiaj. Dzisiaj założyłem, że w sumie mają liter "a" i/lub "b" ma być 3, stąd odpowiedź:
\(\displaystyle{ {12 \choose 3} \cdot 2^{3}}\)
Wybieramy 3 miejsca z 12 na których będą stać te literki, następnie każde z tych miejsc możemy wypełnić na 2 sposoby.
Na egzaminie natomiast zrozumiałem, że każda z tych liter ma się pojawić dokładnie 3 razy, co zaprowadziło do odpowiedzi:
\(\displaystyle{ \frac{12!}{3! \cdot 3! \cdot 6!}}\)
stawiamy w słowie 3 litery "a", 3 "b", 6 "c" i permutujemy, pomijając powtarzające się wyrazy.
Proszę o sprawdzenie, ewentualnie udzielenie wskazówek, gdyby coś było źle. Zależy mi na zrozumieniu popełnionych przeze mnie błędów (jeśli takowe były - a raczej były, bo inaczej bym nie musiał martwić się poprawką )
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Zbiory, relacje, zliczanie, kwantyfikatory - sprawdzenie
2.
3.
-- 31 sie 2012, o 20:25 --
Wiem już chyba, o co Ci chodziło w 3. To nie ma sensu. Musisz się dowiedzieć co to jest relacja, zanim zaczniesz rozwiązywać zadanie.
4. Najpierw ustal jakieś klasy abstrakcji a dopiero potem definiuj relację. To co napisałeś, nie ma związku z zadaniem.
1, 5. ok
Tu napisałeś, że istnieje dokładnie jeden student lubiący matematykę. A jakie było polecenie?Marmite pisze: a) \(\displaystyle{ \exists s \in U \left(M\left(s\right)\right) \wedge \forall x \in U \left(M\left(x\right) \rightarrow R\left(x,s\right)\right)}\)
3.
Za mało. Pokaż, jakie porządki znalazłeś, to Ci podpowiem co przeoczyłeś. Jest \(\displaystyle{ 5}\) takich porządków z dokładnością do izomorfizmu.Marmite pisze: a) 6
Za mało.Marmite pisze: b) 30?
To relacja porządku polega na tym, że każdy element jest w relacji z każdym?Marmite pisze: (bo jest 6 elementów i każdy jest w relacji z pozostałymi 5)
Za dużo. Tego co napisałeś w nawiasie, nie rozumiem. Pokaż, jakie relacje tu znalazłeś.Marmite pisze: c) 12 albo 9 (zależy czy relacja zwrotna liczy się raz czy dwa razy)
-- 31 sie 2012, o 20:25 --
Wiem już chyba, o co Ci chodziło w 3. To nie ma sensu. Musisz się dowiedzieć co to jest relacja, zanim zaczniesz rozwiązywać zadanie.
4. Najpierw ustal jakieś klasy abstrakcji a dopiero potem definiuj relację. To co napisałeś, nie ma związku z zadaniem.
1, 5. ok
- Marmite
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 25 kwie 2011, o 13:14
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 2 razy
Zbiory, relacje, zliczanie, kwantyfikatory - sprawdzenie
Hmm, tu się jakiś chochlik wkradł przy przepisywaniu. Nie wiem dlaczego. Powinno być:norwimaj pisze:2.Tu napisałeś, że istnieje dokładnie jeden student lubiący matematykę. A jakie było polecenie?Marmite pisze: a) \(\displaystyle{ \exists s \in U \left(M\left(s\right)\right) \wedge \forall x \in U \left(M\left(x\right) \rightarrow R\left(x,s\right)\right)}\)
\(\displaystyle{ \exists s \in U \left(\forall t \in U \left(L\left(s,t\right)\right)\right) \wedge \forall v \in U \left(\left(\forall x \in U \left( L\left(v,x\right)\right)\right) \rightarrow R\left(x,s\right)\right)}\)
Jeśli chodzi o relacje, to bez bicia przyznam się, że jestem noga i być może źle rozumiem te zadania. I od razu uprzedzam, że z tego powodu moje próby wyjaśnień "jak do tego doszedłem" mogą być troche bełkotem. Więc zadanie 3:
Cóż, liczba 6 wynika stąd, że wg mojej książki (K.A. Ross, Charles R. B. Wright - Matematyka Dyskretna, 1996) relacja częściowego porządku, o jaką mnie tu proszą, to relacja zwrotna, antysymetryczna i przechodnia. Niestety nie powiedzieli tutaj dokładnie o jaką relację chodzi więc przyjąłem \(\displaystyle{ \le}\). Wtedy w relacji są 1 z 2, 1 z 3, 2 z 3 oraz każdy z elementów ze sobą (no bo w końcu zwrotna jest), co daje razem 6.Za mało. Pokaż, jakie porządki znalazłeś, to Ci podpowiem co przeoczyłeś. Jest 5 takich porządków z dokładnością do izomorfizmu.
Co do następnego przykładu i wyniku 30 - ponownie wg książki, relacja porządku liniowego to relacja kiedy dla wszystkich elementów \(\displaystyle{ t,s}\) ze zbioru \(\displaystyle{ S}\) zachodzi albo \(\displaystyle{ s \le t}\), albo \(\displaystyle{ t \le s}\). No czyli wynikałoby że każdy element jest w relacji z każdym innym, bo dla każdej takiej pary zachodzi to, o czym książka pisze. Stąd 30 (ewentualnie 36, bo w końcu jest "mniejsze lub równe")
I następny przykład: Relacja typu równoważności. Czyli przechodnia, symetryczna, zwrotna. Ponownie nie wiem o jaką mnie pytają więc zakładam że chodzi o \(\displaystyle{ \le}\) Wtedy w relacji są 1 z 2, 1 z 3, 2 z 3. Ponieważ relacja jest symetryczna, to znaczy że wtedy w relacji są także 2 z 1, 3 z 1 i 3 z 2. Doliczając jeszcze 3 zwrotne relacje wychodzi nam 9.
Jeśli chodzi o zadanie numer 4. no to właśnie myślałem, że tym co zapisałem ustalam klasy abstrakcji. Wygląda na to, że źle myślałem bo teraz to nawet sam nie mam pojęcia o co mi chodziło więc czy klasą abstrakcji będą np. "liczby podzielne przez 3", "liczby o 1 mniejsze od potęg liczby 2", "liczby mniejsze od 10" i "liczby będące rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ a^{2} + 3a = 100}\)"?
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Zbiory, relacje, zliczanie, kwantyfikatory - sprawdzenie
No to teraz drugie chyba dobrze, chociaż zawsze przy takich przykładach bywają wątpliwości, bo języki naturalne nie są jednoznaczne.
W trzecim masz rację co do tego że nie rozumiesz treści zadania. Pytają o liczbę relacji a nie o liczbę elementów w relacji. W przykładzie a) jedną z takich relacji jest porządek liniowy \(\displaystyle{ \le}\). Ta relacja ma \(\displaystyle{ 3}\) elementy, to znaczy są trzy pary elementów zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,3\}}\) będących w tej relacji, ale to zupełnie nie ma znaczenia w tym zadaniu.
Mylisz się też w przykładzie \(\displaystyle{ c)}\), twierdząc że \(\displaystyle{ \le}\) jest relacją równoważności. Nie jest to relacja symetryczna, bo \(\displaystyle{ 2\le3}\), ale nieprawda że \(\displaystyle{ 3\le2}\).
W czwartym zapominasz o tym że rodzina klas abstrakcji stanowi podział uniwersum. W Twoim przykładzie liczba \(\displaystyle{ 3}\) należy do trzech klas abstrakcji, a powinna należeć do dokładnie jednej.
W trzecim masz rację co do tego że nie rozumiesz treści zadania. Pytają o liczbę relacji a nie o liczbę elementów w relacji. W przykładzie a) jedną z takich relacji jest porządek liniowy \(\displaystyle{ \le}\). Ta relacja ma \(\displaystyle{ 3}\) elementy, to znaczy są trzy pary elementów zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,3\}}\) będących w tej relacji, ale to zupełnie nie ma znaczenia w tym zadaniu.
Mylisz się też w przykładzie \(\displaystyle{ c)}\), twierdząc że \(\displaystyle{ \le}\) jest relacją równoważności. Nie jest to relacja symetryczna, bo \(\displaystyle{ 2\le3}\), ale nieprawda że \(\displaystyle{ 3\le2}\).
W czwartym zapominasz o tym że rodzina klas abstrakcji stanowi podział uniwersum. W Twoim przykładzie liczba \(\displaystyle{ 3}\) należy do trzech klas abstrakcji, a powinna należeć do dokładnie jednej.
- Marmite
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 25 kwie 2011, o 13:14
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 2 razy
Zbiory, relacje, zliczanie, kwantyfikatory - sprawdzenie
Aha, teraz przynajmniej rozumiem, dzięki chociaż obawiam się że i tak nie umiałbym znaleźć wszystkich możliwych relacji... Ale to już inna bajka.norwimaj pisze: W trzecim masz rację co do tego że nie rozumiesz treści zadania. Pytają o liczbę relacji a nie o liczbę elementów w relacji.
Hm, ale jak to wtedy mam podzielić? Jak znaleźć 4 takie klasy abstrakcji żeby stanowiły podział uniwersum taki, żeby każdy element nalezał tylko do jednej z nich i w dodatku 2 były skończone? Bo nieskończone to łatwo, powiedzmy np. "liczby będące potęgami liczby pierwszej X" (i Y) - i szczerze mówiąc to jedyny pomysł, jaki mi przychodzi do głowy. A jeszcze mam znaleźć relację, która ma 4 klasy abstrakcji, 2 skończone i 2 nie - to już dla mnie za trudne. Jaka to mogłaby być relacja?W czwartym zapominasz o tym że rodzina klas abstrakcji stanowi podział uniwersum. W Twoim przykładzie liczba \(\displaystyle{ 3}\) należy do trzech klas abstrakcji, a powinna należeć do dokładnie jednej.
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Zbiory, relacje, zliczanie, kwantyfikatory - sprawdzenie
Na przykład jako klasy nieskończone możesz wziąć zbiór liczb parzystych większych od \(\displaystyle{ 5}\) i zbiór liczb nieparzystych większych od \(\displaystyle{ 13}\). Jeszcze musisz zbiór pozostałych liczb podzielić na dwa niepuste zbiory.
\(\displaystyle{ \begin{picture}(0,0)
\multiput(0,0)(0,20){3}{\circle*{4}}
\put(0,0){\line(0,1){40}}
\put(-4,-4){$.$}
\put(-4,44){$.$}
\end{picture}}\)
Próbuj. Najpierw policz, ile jest porządków liniowych, czyli takich:Marmite pisze:obawiam się że i tak nie umiałbym znaleźć wszystkich możliwych relacji...
\(\displaystyle{ \begin{picture}(0,0)
\multiput(0,0)(0,20){3}{\circle*{4}}
\put(0,0){\line(0,1){40}}
\put(-4,-4){$.$}
\put(-4,44){$.$}
\end{picture}}\)
- Marmite
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 25 kwie 2011, o 13:14
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 2 razy
Zbiory, relacje, zliczanie, kwantyfikatory - sprawdzenie
Dobrze, to drugie zadanie na razie zostwamy. Cieszę się że chociaż zrozumiałem cala ideę klas abstrakcji za co dziękuję jednak teraz postawmy problem w kontekście zadania. Znalezienie relacji, która ma 4 klasy abstrakcji. Polecenie było takie jak napisałem, a w miejscu do wypełnienia stało jużnorwimaj pisze:Na przykład jako klasy nieskończone możesz wziąć zbiór liczb parzystych większych od \(\displaystyle{ 5}\) i zbiór liczb nieparzystych większych od \(\displaystyle{ 13}\). Jeszcze musisz zbiór pozostałych liczb podzielić na dwa niepuste zbiory.
\(\displaystyle{ xRy \Leftrightarrow ....................................}\)
No i teraz już ostatnie pytanie odnośnie tego zadania: wiem już co to są dokładnie klasy abstrakcji, wiem jakie mogę utworzyć 2 skończone i 2 nieskończone, żeby sie wzajemnie uzupełniały. A jak teraz stworzyć relację, która utworzy takie 4 klasy abstrakcji?
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Zbiory, relacje, zliczanie, kwantyfikatory - sprawdzenie
Może łatwiej będzie, jeśli weźmiemy te same liczby, czyli klasami nieskończonymi będą zbiór liczb parzystych większych od \(\displaystyle{ 5}\) i zbiór liczb nieparzystych większych od \(\displaystyle{ 5}\). Definiujemy
\(\displaystyle{ xRy\iff 2|(x-y) \land (x-5{,}5)(y-5{,}5)>0.}\)
To akurat da się zdefiniować zwięzłym wzorem, ale równie dobrze można zrobić dłuższą definicję. A uniwersalna definicja jest, że \(\displaystyle{ xRy}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ x}\) należy do tej samej klasy abstrakcji co \(\displaystyle{ y}\).
\(\displaystyle{ xRy\iff 2|(x-y) \land (x-5{,}5)(y-5{,}5)>0.}\)
To akurat da się zdefiniować zwięzłym wzorem, ale równie dobrze można zrobić dłuższą definicję. A uniwersalna definicja jest, że \(\displaystyle{ xRy}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ x}\) należy do tej samej klasy abstrakcji co \(\displaystyle{ y}\).
- Marmite
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 25 kwie 2011, o 13:14
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 2 razy
Zbiory, relacje, zliczanie, kwantyfikatory - sprawdzenie
A jak będę chciał dorzucić kolejne klasy abstrakcji to mam już po prostu użyć spójnika "lub"?norwimaj pisze:Może łatwiej będzie, jeśli weźmiemy te same liczby, czyli klasami nieskończonymi będą zbiór liczb parzystych większych od \(\displaystyle{ 5}\) i zbiór liczb nieparzystych większych od \(\displaystyle{ 5}\). Definiujemy
\(\displaystyle{ xRy\iff 2|(x-y) \land (x-5{,}5)(y-5{,}5)>0.}\)
To akurat da się zdefiniować zwięzłym wzorem, ale równie dobrze można zrobić dłuższą definicję. A uniwersalna definicja jest, że \(\displaystyle{ xRy}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ x}\) należy do tej samej klasy abstrakcji co \(\displaystyle{ y}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Zbiory, relacje, zliczanie, kwantyfikatory - sprawdzenie
Ogólnie jeśli mamy \(\displaystyle{ n}\) klas abstrakcji: \(\displaystyle{ C_1,C_2,\ldots, C_n}\), to
\(\displaystyle{ xRy\iff (x\in C_1 \land y\in C_1)\lor(x\in C_2 \land y\in C_2)\lor\ldots\lor(x\in C_n \land y\in C_n)}\).
W ten sposób możesz zrobić każdy taki przykład (przynajmniej jeśli jest skończona liczba klas abstrakcji).
\(\displaystyle{ xRy\iff (x\in C_1 \land y\in C_1)\lor(x\in C_2 \land y\in C_2)\lor\ldots\lor(x\in C_n \land y\in C_n)}\).
W ten sposób możesz zrobić każdy taki przykład (przynajmniej jeśli jest skończona liczba klas abstrakcji).
-
- Użytkownik
- Posty: 56
- Rejestracja: 23 lis 2011, o 19:31
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdansk
- Podziękował: 11 razy
Zbiory, relacje, zliczanie, kwantyfikatory - sprawdzenie
Mam identyczne zadanie do zrobienia, z kombinatoryki, te zadanie nr 5. Według mnie powinno być w a)
\(\displaystyle{ {12 \choose 4} \cdot {8 \choose 4} \cdot{ 4 \choose 4} = \frac{12!}{ 4^{3} }}\) a w c), nie powinno być \(\displaystyle{ {12 \choose 3} \cdot {9 \choose 3} \cdot 1 ^{6}}\)?
\(\displaystyle{ {12 \choose 4} \cdot {8 \choose 4} \cdot{ 4 \choose 4} = \frac{12!}{ 4^{3} }}\) a w c), nie powinno być \(\displaystyle{ {12 \choose 3} \cdot {9 \choose 3} \cdot 1 ^{6}}\)?
- Marmite
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 25 kwie 2011, o 13:14
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 2 razy
Zbiory, relacje, zliczanie, kwantyfikatory - sprawdzenie
To samo zadanie, jeszcze z Gdańska - widzimy się za tydzień na poprawce u Piwaka? co do tego co napisałaś:aussie pisze:Mam identyczne zadanie do zrobienia, z kombinatoryki, te zadanie nr 5. Według mnie powinno być w a)
\(\displaystyle{ {12 \choose 4} \cdot {8 \choose 4} \cdot{ 4 \choose 4} = \frac{12!}{ 4^{3} }}\) a w c), nie powinno być \(\displaystyle{ {12 \choose 3} \cdot {9 \choose 3} \cdot 1 ^{6}}\)?
\(\displaystyle{ {12 \choose 4} = \frac{12!}{8! \cdot 4!} \\
{8 \choose 4} = \frac{8!}{4! \cdot 4!} \\
{4 \choose 4} = \frac{4!}{4! \cdot 0!}}\)
Zatem po wymnożeniu dostajemy nie \(\displaystyle{ \frac{12!}{ 4^{3} }}\), a \(\displaystyle{ \frac{12!}{ (4!)^{3} }}\)
Co do przykłądu c) - to, co napisałaś, jest równe temu co ja napisałem w sensie
\(\displaystyle{ {12 \choose 3} \cdot {9 \choose 3} = \frac{12!}{6! \cdot 3! \cdot 3!}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 56
- Rejestracja: 23 lis 2011, o 19:31
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdansk
- Podziękował: 11 razy
Zbiory, relacje, zliczanie, kwantyfikatory - sprawdzenie
Tak, na tą samą poprawkę się przygotowuję . Odnośnie zadań, to faktycznie mój błąd, wyniki się zgadzają