wyraz ogólny ciągu

[Mqat]

Witam,
Ciąg mam podany poprzez rekurencje:
\(\displaystyle{ a _{0}=3}\)
\(\displaystyle{ a _{1}=4}\)
\(\displaystyle{ a _{n}=a _{n-1}+6a _{n-2}}\)
wychodzi mi taka funkcja tworząca:
\(\displaystyle{ A(z)= \frac{3-3z}{-6z ^{2}-z+1 }}\)
Po rozłożeniu na ułamki proste:
\(\displaystyle{ A(z)=\frac{ \frac{9}{5} }{1+2z}+ \frac{ \frac{6}{5} }{1-3z}}\)
zaczyna się mój problem. Próbowałem wyciągać "przed nawias" ułamki znajdujące się w licznikach co dawało mi już znajomą postać tj.
\(\displaystyle{ \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{1-3z}}\) czyli ciąg \(\displaystyle{ \frac{6}{5} \cdot 3 ^{n}}\) ale nie mogę poradzić sobie z \(\displaystyle{ \frac{9}{5} \cdot \frac{1}{1+2z}}\).
Proszę o pomoc w rozwiązaniu i o poprawienie ewentualnych błędów.

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ 1+2z=1-(-2z)}\)
Ostatecznie powinno Ci wyjść

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ a_{n}=2\cdot 3^n+(-2)^n}\)

A tak w ogóle to źle jest wyznaczona funkcja tworząca. Pokaż jak ją wyliczałeś to sprawdzimy.

[Mqat]

\(\displaystyle{ A(z)=\sum_{n=0}^{ \infty }a _{n}z ^{n} =a _{0}+a _{1} z+ \sum_{n=2}^{ \infty }(a _{n-1}+6a _{n-2}) z ^{n}=3+4z+ \sum_{n=1}^{ \infty}a _{n}z ^{n+1}+6 \sum_{n=0}^{ \infty }a _{n}z ^{n+2}=3+4z+z\sum_{n=1}^{ \infty}a _{n}z ^{n}+6z ^{2}\sum_{n=0}^{ \infty}a _{n}z ^{n}=3+4z+z(A(z)-3)+6z ^{2} \cdot A(z)}\)

\(\displaystyle{ A(z)-zA(z)-6z ^{2}A(z)=3+z}\)

\(\displaystyle{ A(z)= \frac{3+z}{-6z ^{2}-z+1 }}\)

Miałem po prostu błąd w obliczeniach Tak też myślałem że będzie \(\displaystyle{ (-2) ^{n}}\) ale byłem przekonany że funkcje tworzącą policzyłem dobrze.

Dzięki za pomoc

[Nakahed90]

Teraz jest ok.