Reguła włączeń i wyłączeń (sprawdzenie)

[tommasz]

Oblicz, na ile sposobów można czworgu znajomym dzieciom ofiarować 5 różnych zabawek i 7 identycznych baloników (zatem istotne jest to, którą zabawkę oraz ile baloników dostanie dane dziecko) tak, by każde dziecko coś coś dostało (co najmniej jedną zabawkę lub balonik).

Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ {4\choose 1}^5}\) - z czwórki dzieci wybieramy 1 które dostanie zabawkę i tak 5 razy.
\(\displaystyle{ {15\choose 3}}\) Mamy 15 balonów, 3 z nich zamieniamy na przegrody otrzymujemy podział balonów między dzieci.
I tym sposobem otrzymujemy rozdział zabawek między dzieci:
\(\displaystyle{ {4\choose 1}^5{15\choose 3}}\).
Ale może się tak zdarzyć, że dziecko nie dostanie jakiejś zabawki i trzeba tutaj zastosować regułę włączeń i wyłączeń, która prowadzi nas do wzoru:
\(\displaystyle{ {4\choose 1}^5{15\choose 3}-{4\choose 1}{3\choose 1}^5{14\choose 2}+{4\choose 2}{2\choose 1}^5{13\choose 1}-{4\choose 3}1 \cdot 1}\).
Czy to co piszę ma sens?

[TMac]

Zastanawia mnie dlaczego ustawiasz 15 baloników skoro w zadaniu masz 7, nie powinno być 10 zamiast 15? Reszta jak dla mnie jest ok.

[tommasz]

Oj, masz racje. To pomyłka, nie wiem dlaczego sobie ubzdurałem 15 baloników, powinno być 10 (nie wiem dlaczego ale już nie mogę edytować postu). Dzięki .