grupa obrotow szescianu

[kriegor]

rozstrzygnij czy grupa obrotow szescianu jest izomorficzna z \(\displaystyle{ S_4}\) (grupa wszystkich permutacji zbioru \(\displaystyle{ 4}\)-elementowego);

co trzeba sprawdzic oprocz tego ze moce grup sie zgadzaja ?

-- 21 sie 2012, o 18:34 --

przy okazji czemu izometrii czworoscianu foremnego jest \(\displaystyle{ 24}\) ? widze wszystkie obroty ale to mi daje tylko \(\displaystyle{ 12}\)

tamta reszta to musi byc strasznie sztuczna, czy to oznacza ze izometria czworoscianu to moze byc permutacja wierzcholkow ? chyba malo praktyczne-- 21 sie 2012, o 18:40 --jesli dowolna permutacja jest uznawana za izometrie to imo to bez sensu jest
bo w izometriach n-kata foremnego rozwaza sie tylko obroty i symetrie co jest proste, ale nie dowolna permutacje wierzcholkow

[pyzol]

Na pewno jest więcej niż \(\displaystyle{ 12}\), w każdej płaszczyźnie możesz obrócić o \(\displaystyle{ 0,90^o, 180^{o},270^o}\) więc już będzie ich \(\displaystyle{ 12}\):
\(\displaystyle{ (0,0)}\) - neutralny,
\(\displaystyle{ (0,90^{o})\\
(0,180^o)\\
\vdots\\
(270^o,270^o)}\)
Do tego dojdą \(\displaystyle{ 2}\) symetrie, po złożeniu ich trzecia. Dalej to już niestety za słaba wyobraźnia, co tam powstanie z połączenia symetrii i jakiegoś obrotu.
A co do izomorfizmu no niestety. Jeśli uważamy, że są to trzeba wskazać funkcję, która zachowa działania.
Na przykład dla obrotów w jednej osi możemy dać takie odpowiedniki:
\(\displaystyle{ 1,2,3,4-0^o\\
4,1,2,3-90^o\\
3,4,1,2-180^o\\
2,3,4,1-270^o}\)
No ale dopasować to chyba nie będzie tak łatwo, by to się wszystko pięknie poskładało.
Jeśli zaś nie, to trzeba pokazać, że taka funkcja nie istnieje. Co też mi na łatwe nie wygląda.
Tu bym może próbował po cyklach.-- 21 sie 2012, o 19:50 --aragorn.pb.bialystok.pl/~baginski/wstep_do_teorii_grup/roz1.pdf;
info.fuw.edu.pl/~derezins/teoriagrup-I.pdf
Myślę, że to dużo rozjaśni.

[norwimaj]

co trzeba sprawdzic oprocz tego ze moce grup sie zgadzaja ?

Jeśli jeszcze pokażesz, że grupa izometrii sześcianu jest podgrupą grupy \(\displaystyle{ S_4}\), to już wystarczy. Wsk: \(\displaystyle{ S_4}\) jest grupą izometrii czworościanu a pewien podzbiór wierzchołków sześcianu jest zbiorem wierzchołków czworościanu.

przy okazji czemu izometrii czworoscianu foremnego jest \(\displaystyle{ 24}\) ? widze wszystkie obroty ale to mi daje tylko \(\displaystyle{ 12}\)

Skoro widzisz \(\displaystyle{ 12}\) izometrii zachowujących orientację, to możesz zauważyć jeszcze jakąś symetrię płaszczyznową i już będziesz miał \(\displaystyle{ 24}\), tzn. \(\displaystyle{ 12}\) izometrii niezachowujących orientacji przestrzeni uzyskasz jako złożenie tych pierwszych z wybraną symetrią płaszczyznową.

czy to oznacza ze izometria czworoscianu to moze byc permutacja wierzcholkow ?

Izometrie czworościanu obcięte do zbioru wierzchołków to permutacje wierzchołków. Dla czworościanu każda permutacja wierzchołków odpowiada pewnej izometrii czworościanu.

jesli dowolna permutacja jest uznawana za izometrie to imo to bez sensu jest
bo w izometriach n-kata foremnego rozwaza sie tylko obroty i symetrie co jest proste, ale nie dowolna permutacje wierzcholkow

Dla \(\displaystyle{ n}\)-kąta przy \(\displaystyle{ n>3}\) nie każda permutacja wierzchołków jest izometrią, bo przekątne na ogół nie są równe bokom.

[kriegor]

a wezmy \(\displaystyle{ n}\)-kat foremny i jego grupe wszystkich izometrii tzn symetri i obrotow
i to co mnie zastanawia to to ze skad wiemy ze skladajac ze soba jakis obrot i jakas symetrie nie wyjdziemy poza grupe?? tzn w sumie tego ze tak musi byc to nie ma w definicji grupy wiec w sumie to nie musi byz spelnione ?? no ale jest bo widac, chociaz ja nie do konca tego widze i czy jest jakis prosty argument za tym ze skladajac jakis obrot i jakas symetrie tak naprawde wykonujemy jakas inna symetrie z grupy tych izometrii?? w sumie to nie wiem czy to jest do czegos potrzebne ale jakos mnie to zastanawia

-- 23 sie 2012, o 22:40 --

Skoro widzisz \(\displaystyle{ 12}\) izometrii zachowujących orientację, to możesz zauważyć jeszcze jakąś symetrię płaszczyznową i już będziesz miał \(\displaystyle{ 24}\), tzn. \(\displaystyle{ 12}\) izometrii niezachowujących orientacji przestrzeni uzyskasz jako złożenie tych pierwszych z wybraną symetrią płaszczyznową.

to taki sam pomysl mozemy wykonac z naszyjnikiem chyba
bierzemy wszystkie obroty i jedna symetrie i teraz reszte izometrii tworzymy poprzez zlozenie obrotow z symetria tylko skad pewnosc ze nie otrzymamy w ten sposob cos co juz mielismy ??
takie moze dziwne pytania ale skoro chodzili mi po glowie to postanowilem jeszcze zadac-- 23 sie 2012, o 22:42 --juz chyba widze czemu nie otrzymamy czegos co juz mielismy to tak jak z tym czworoscianem ze symetria nie bardzo zachowuje tej orientacji wiec powstana tylko te co nie zachowuja orientacji a wiec nie powstanie zaden obrot czyli powstanie tylko cos nowego bo jst tylko jeden element neutralny

[norwimaj]

a wezmy \(\displaystyle{ n}\)-kat foremny i jego grupe wszystkich izometrii tzn symetri i obrotow
i to co mnie zastanawia to to ze skad wiemy ze skladajac ze soba jakis obrot i jakas symetrie nie wyjdziemy poza grupe??

Bo można wyznaczyć wszelkie złożenia i stwierdzić że należą one do grupy. Poza tym zawsze zbiór izometrii własnych jakiejś figury jest grupą, bo złożenie dwóch izometrii jest izometrią i złożenie dwóch przekształceń zachowujących jakąś figurę też zachowuje ową figurę.

tzn w sumie tego ze tak musi byc to nie ma w definicji grupy

Jest.

to taki sam pomysl mozemy wykonac z naszyjnikiem chyba
bierzemy wszystkie obroty i jedna symetrie i teraz reszte izometrii tworzymy poprzez zlozenie obrotow z symetria tylko skad pewnosc ze nie otrzymamy w ten sposob cos co juz mielismy ??

Mamy obroty \(\displaystyle{ O_1,\ldots,O_{12}}\) i symetrię \(\displaystyle{ S}\). Wtedy \(\displaystyle{ O_i\ne SO_j}\), bo jedno zachowuje orientację a drugie nie, oraz \(\displaystyle{ SO_i\ne SO_j}\) dla \(\displaystyle{ O_i\ne O_j}\), bo gdyby była równość \(\displaystyle{ SO_i=SO_j}\), to mnożymy ją przez \(\displaystyle{ S}\) z lewej strony i otrzymujemy sprzeczność.

[kriegor]

ostatnia rzecz

tzn w sumie tego ze tak musi byc to nie ma w definicji grupy

Jest.

nie rozumiem
ja widze tylko lacznosc, istnienie elementu neutralnego i odwrotnosci
chyba ze nie ma tego w definicji ale wynika z definicji

[norwimaj]

W grupie \(\displaystyle{ G}\) musi być określone działanie \(\displaystyle{ G\times G\to G}\). Nie spotkałem się z definicją grupy, która tego nie wymaga.