Oblicz sumę
Oblicz sumę
Pomyślałem, że może komuś się przyda też sposób z rachunku różnicowego (o którym można poczytać np. tutaj: 258511.htm#p4755086). Zatem najpierw mała obserwacja:
\(\displaystyle{ 1= \frac{k+2}{k+2}= \frac{k+4-2}{k+2}= \frac{k+4}{k+2} - \frac{2}{k+2}}\).
Stąd także:
\(\displaystyle{ \frac{1}{k(k+1)(k+3)(k+4)} = \frac{1}{k(k+1)(k+3)(k+4)} \cdot \left( \frac{k+4}{k+2} - \frac{2}{k+2} \right) = \frac{k+4}{k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)} - \frac{2}{k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)} = \frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)} - \frac{2}{k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}}\)
Teraz "wrzucę" ten wynik do sumy, a potem przesunę wskaźnik sumowania:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{1}{k(k+1)(k+3)(k+4)} = \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)} - \frac{2}{k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)} = \sum_{k+1=1}^{ \infty } \frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)} - \frac{2}{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)} = \sum_{k=0}^{ \infty } \frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)} - \frac{2}{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)} = \sum_{k=0}^{ \infty } k^{\underline{-4}} - 2k^{\underline{-5}}= \lim_{ n \to \infty } \left( \left( \frac{k^{\underline{-3}}}{-3} - \frac{2k^{\underline{-4}}}{-4} \right) |_0^{n} \right)}\)
Przy n dążącym do nieskończoności ułamki zależne od n się wyzerują i pozostanie:
\(\displaystyle{ - \left( \frac{0^{\underline{-3}}}{-3} - \frac{2 \cdot 0^{\underline{-4}}}{-4} \right) = \frac{0^{\underline{-3}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\underline{-4}}}{4} = \frac{1}{3 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3} - \frac{2}{4 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{1}{2 \cdot 3} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2 \cdot 4} \right) = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{24} = \frac{5}{144}}\)
Jakby to kogoś interesowało jak do tego pomysłu z samego początku doszedłem to niech napisze PW albo tutaj (może dam radę jakoś przedstawić tok rozumowania), ale głównie to chyba łut szczęścia, że coś takiego zauważyłem.
\(\displaystyle{ 1= \frac{k+2}{k+2}= \frac{k+4-2}{k+2}= \frac{k+4}{k+2} - \frac{2}{k+2}}\).
Stąd także:
\(\displaystyle{ \frac{1}{k(k+1)(k+3)(k+4)} = \frac{1}{k(k+1)(k+3)(k+4)} \cdot \left( \frac{k+4}{k+2} - \frac{2}{k+2} \right) = \frac{k+4}{k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)} - \frac{2}{k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)} = \frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)} - \frac{2}{k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}}\)
Teraz "wrzucę" ten wynik do sumy, a potem przesunę wskaźnik sumowania:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{1}{k(k+1)(k+3)(k+4)} = \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)} - \frac{2}{k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)} = \sum_{k+1=1}^{ \infty } \frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)} - \frac{2}{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)} = \sum_{k=0}^{ \infty } \frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)} - \frac{2}{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)} = \sum_{k=0}^{ \infty } k^{\underline{-4}} - 2k^{\underline{-5}}= \lim_{ n \to \infty } \left( \left( \frac{k^{\underline{-3}}}{-3} - \frac{2k^{\underline{-4}}}{-4} \right) |_0^{n} \right)}\)
Przy n dążącym do nieskończoności ułamki zależne od n się wyzerują i pozostanie:
\(\displaystyle{ - \left( \frac{0^{\underline{-3}}}{-3} - \frac{2 \cdot 0^{\underline{-4}}}{-4} \right) = \frac{0^{\underline{-3}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\underline{-4}}}{4} = \frac{1}{3 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3} - \frac{2}{4 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{1}{2 \cdot 3} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2 \cdot 4} \right) = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{24} = \frac{5}{144}}\)
Jakby to kogoś interesowało jak do tego pomysłu z samego początku doszedłem to niech napisze PW albo tutaj (może dam radę jakoś przedstawić tok rozumowania), ale głównie to chyba łut szczęścia, że coś takiego zauważyłem.
-
pyzol
- Użytkownik
- Posty: 4346
- Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowa Ruda
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 929 razy
Oblicz sumę
Jakby to kogoś interesowało jak do tego pomysłu z samego początku doszedłem to niech napisze PW albo tutaj (może dam radę jakoś przedstawić tok rozumowania),
nie sprawdzałem, ale ciesz się magią matematyki, gdzie pomysłem uczeń z podstawówki może zagiąć profesoera (patrz Gauss- wymyślił normy w których sam sie nie mieścił)