Wzór ciągu na podstawie pierwszych wyrazów

[Browning0]

Witajcie, sięgnąłem do książki do Analizy matematycznej z I semestru i już mam problemy. Mam do zrobienia zadanie:

Znaleźć wzór określający n-ty wyraz podanego ciągu:
e) \(\displaystyle{ \left( e_{n}\right) = \left( 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,\ldots\right)}\)
g) \(\displaystyle{ \left( g_{n}\right) = \left( 1,1,2,3,5,8,13,21,34,\ldots\right)}\)
h) \(\displaystyle{ \left( h_{n}\right) = \left( 1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,\ldots\right)}\)

Zaintrygowało mnie to zadanie chociażby z tego względu, że jedyny sposób na znalezienie wzoru jawnego na n-ty wyraz ciągu Fibonacciego jaki znam to ten poznany dopiero na II semestrze, czyli funkcje tworzące.

Czy jest jakiś inny, czarodziejsko-prostszy sposób na rozwiązanie tego zadania?

Bardzo dziękuję za wszystkie wskazówki!

[Lorek]

\(\displaystyle{ g_n=5\ \mathrm{dla}\ n\ge 10}\), może być?
A jak już chcesz koniecznie Fibonacciego to może rekurencyjnie go zapisać?

[Browning0]

A skąd wytrzasnąłeś te \(\displaystyle{ g_n=5\ \mathrm{dla}\ n\ge 10}\)? =)

Hmm, zastanawiałem się czy nie można rekurencyjnie, ale:
a) książka rozróżnia określenie ciągu za pomocą wzoru i określenie ciągu rekurencyjnie, więc autorzy zadania niejako wymagają zapisania wzoru jawnego
b) w odpowiedziach jest podany stricte wzór jawny

Zastanawiałem się po prostu czy istnieje jakaś prostsza forma dojścia do wzoru jawnego, skoro "wymaga" się jej w książce z I semestru. Mimo że zadanie jest "z gwiazdką".

[Lorek]

A skąd wytrzasnąłeś te \(\displaystyle{ g_n=5\ \mathrm{dla}\ n\ge 10}\)? =)

Ano stąd, że nigdzie nie jest napisane jaki to ciąg, więc można sobie wymyślić cokolwiek Można się domyślać, że chodzi o Fibonacciego, ale nigdzie wprost to nie jest napisane No ale bez udziwniania już. Kiedyś chyba widziałem jakieś proste rozwiązanie, tylko nie wiem czy to było z funkcjami tworzącymi czy bez. Może tu coś ciekawego znajdziesz: 304902.htm.

[adambak]

e) zauważ, że ostatnie wystąpienie liczby \(\displaystyle{ k}\) jest na miejscu \(\displaystyle{ 1+2+...+k=\frac{k(k+1)}{2}}\), w takim razie \(\displaystyle{ e_n=k \Leftrightarrow \frac{(k-1)k}{2}<n\le \frac{k(k+1)}{2} \Leftrightarrow k^2-k<2n\le k^2+k}\), ale że mamy do czynienia z liczbami całkowitymi to nic się złego nie stanie jak zapiszemy to tak:
\(\displaystyle{ \left( k-\frac{1}{2}\right) ^2<2n <\left( k+\frac{1}{2}\right)^2 \Leftrightarrow k<\sqrt{2n}+\frac{1}{2}<k+1 \Leftrightarrow k=\left\lfloor \sqrt{2n}+\frac{1}{2} \right\rfloor}\), co nawet się zgadza..

g) najłatwiej funkcje tworzące/równanie charakterystyczne (na to samo praktycznie wychodzi), odpowiedzią jest przesunięty wzór Bineta..

-- 13 sie 2012, o 19:32 --

jak zrozumiesz to wyżej to zrobienie h) będzie już proste (i nawet się przyda wynik wyżej), wystarczy zapisać ten ciąg jako trójkąt:

\(\displaystyle{ 1\\1 \ 2\\1 \ 2 \ 3 \\ 1 \ 2 \ 3 \ 4 \\ ...}\) i przyjrzeć się indeksom pierwszych i ostatnich wyrazów w rzędzie..

to zaprowadziło mnie do wyniku: \(\displaystyle{ h_n=n-\frac{(m-1)m}{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ m=\left\lfloor \sqrt{2n}+\frac{1}{2} \right\rfloor}\)