podzial liczby

[kriegor]

znalazlem takie dwa fajne zadanka:

1. wykaz ze liczba wszystkich podzialow liczby \(\displaystyle{ n}\) na trzy skladniki jest rowna liczbie wszystkich podzialow liczby \(\displaystyle{ 2n}\) na trzy skladniki mniejsze niz \(\displaystyle{ n}\)

2. wykaz ze laczna liczba skladnikow we wszystkich podzialah liczby \(\displaystyle{ n}\) jest rowna \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-1}p(k)\tau(n-k)}\) gdzie \(\displaystyle{ p(k)}\) to liczba
podzialow \(\displaystyle{ k}\) a \(\displaystyle{ \tau(m)=\sum_{d|m}1}\) jest liczba (dodatnich) dzielników \(\displaystyle{ m}\)


no to pierwsze to tworzymy bijekcje tzn dla dowolnego podzialu \(\displaystyle{ \left\langle a_1, \ a_2, \ a_3 \right\rangle}\) takiego ze sa w kolejnosci niemalejacej definiujemy podzial \(\displaystyle{ \left\langle n-a_3, \ n-a_2, \ n-a_1 \right\rangle}\) ktory spelnia warunki no i to dziala prawda ??

drugie za trudne moglby ktos zrobic??

[silvaran]

Tak, działa Do każdego podziału \(\displaystyle{ n}\) na trzy składniki dobieramy w parę podział \(\displaystyle{ 2n}\) na trzy składniki mniejsze od \(\displaystyle{ n}\) i koniec