policzyc ilosc ciagow

[kriegor]

ile jest ciagow zlozonych z zer i jedynek, o dlugosci \(\displaystyle{ 4n}\), w ktorych zero wystepuje \(\displaystyle{ 2n}\) razy i jedynka \(\displaystyle{ 2n}\) razy i takich ze liczba wystapien zera przed \(\displaystyle{ n}\)-tym wystapieniem jedynki jest nie wieksza od \(\displaystyle{ n}\) ??

myslalem nad ulozeniem jakiejs rekurencji tutaj, ale nic nie wymyslilem

[Lorek]

O ile dobrze widzę to wkw na to, aby ciąg spełniał założenia zadania jest aby na pierwszych \(\displaystyle{ 2n}\) miejscach było co najmniej \(\displaystyle{ n}\) jedynek, a takie ciągi łatwo zliczyć.

[kriegor]

co to wkw?? domyslam sie ze chodzi o warunek konieczny i dostateczny bo taki faktycznie tutaj jest co latwo pokazac
kurcze genialne nigdy bym chyba na to nie wpadl

w takim razie tych ciagow bedzie chyba \(\displaystyle{ \sum_{k=n}^{2n} {2n \choose k} ^2}\) ale nie wiem czy da sie to uproscic

[Lorek]

Warunek konieczny i wystarczający Tych ciągów będzie tyle:
\(\displaystyle{ \sum_{k=n}^{2n} {2n \choose k} {2n\choose 2n-k}}\)
czyli tyle, ile napisałeś. A jak się pokombinuje, to daje się to uprościć do
\(\displaystyle{ \frac{{4n\choose 2n}+{2n\choose n}^2}{2}}\)
wsk. podziel wszystkie możliwe ciągi 0-1 na 3 grupy: a) na pierwszych \(\displaystyle{ 2n}\) miejscach jest więcej niż \(\displaystyle{ n}\) jedynek; b) na pierwszych \(\displaystyle{ 2n}\) miejscach jest mniej niż \(\displaystyle{ n}\) jedynek; c) na pierwszych \(\displaystyle{ 2n}\) miejscach jest dokładnie \(\displaystyle{ n}\) jedynek.

[kriegor]

pomoglo pieknie wyszlo i nawet nie bylo to takie trudne ja po prostu jakos nie moglem uwierzyc ze to da sie uproscic a tutaj taka niespodzianka, dzieki wielkie !