Problem z dwumianem

[neron0308]

Poproszę o jakieś wskazówki w rozwiązaniu poniższych zadań.
1) Na płaszczyźnie dane jest n punktów położonych tak, że żadne trzy punkty nie leżą na jednej prostej. Ile różnych prostych można poprowadzić poprzez te punkty?
2) W rozwinięciu dwumianu \(\displaystyle{ ( \sqrt{1+x}- \sqrt{1-x}) ^{n}}\) współczynnik przy trzecim wyrazie wynosi 28. Znaleźć środkowy wyraz rozwinięcia.

[AloneAngel]

Nie jestem pewien, czy mój tok rozumowania jest dobry, najwyżej ktoś mnie poprawi.

Prostą wyznaczają dwa punkty, a więc te \(\displaystyle{ n}\) punktów można połączyć z \(\displaystyle{ n - 1}\) pozostałymi punktami. Skoro jest \(\displaystyle{ n}\) możliwości wybrania pierwszego punktu, to drugi można wybrać na \(\displaystyle{ n - 1}\) sposobów.

A więc ilość takich połączeń wynosi: \(\displaystyle{ n \cdot (n-1)}\)

Ale skoro odcinek wyznaczają dwa punkty, to każde połączenie jest liczone podwójnie. A więc ostatecznie otrzymujemy: \(\displaystyle{ \frac{n(n-1)}{2}}\) prostych.

@Edit:

Tutaj też jest to zadanie:
205706.htm

[Ponewor]

Alone Angel tok jest dobry. Tylko właśnie \(\displaystyle{ {n\choose 2}= \frac{n \cdot (n-1)}{2}}\).

2) Danek12 jaki jest wzór na współczynnik przy \(\displaystyle{ k-tym}\) wyrazie rozwinięcia?

[neron0308]

Wzoru nie znam, ale już sobie poradziłem.
Otóż: \(\displaystyle{ {n \choose 2} = 28}\) i z tego obliczyłem \(\displaystyle{ n=8}\) i znając wykładnik potęgi wiedziałem który wyraz jest środkowy i otrzymałem: \(\displaystyle{ {8 \choose 4} ( \sqrt{1+x} ) ^{4} ( \sqrt{1-x} ) ^{4}}\). Ostatecznie środkowy wyraz rozwinięcia to \(\displaystyle{ 70(x ^{2} - 1) ^{2}}\)

[Ponewor]

A no właśnie o to mi chodziło. Wzór na współczynnik przy \(\displaystyle{ k-tym}\) to \(\displaystyle{ {n \choose k-1}}\). Więc wzór znałeś nie wiedząc co to jest.