Zapis dziesiętny potegi siódemki

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

Zapis dziesiętny potegi siódemki

Post autor: Ponewor »

Wykazać, że wśród naturalnych potęg 7 istnieje taka, której zapis dziesiętny kończy się na 01.


EDIT

Proszę o rozwiązanie z zasadą szufladkową
Ostatnio zmieniony 10 lip 2012, o 08:40 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

Zapis dziesiętny potegi siódemki

Post autor: Vax »

\(\displaystyle{ 7^4 = 2401}\)
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

Zapis dziesiętny potegi siódemki

Post autor: Ponewor »

Ej nie nie tak to nie ma . Zadanie pochodzi z materiałów związanych z zasadą szufladkową Dirichleta i zapomniałem wspomnieć o tym, że rozwiązania z tą metodą oczekuję. Ale dziękuję.
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

Zapis dziesiętny potegi siódemki

Post autor: Vax »

No to popatrzmy na liczby \(\displaystyle{ 7,7^2,...,7^{100}}\), żadna z nich nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 100}\), więc wszystkich możliwych reszt modulo 100 jest \(\displaystyle{ 99}\), ale mamy \(\displaystyle{ 100}\) liczb, więc pewne dwie liczby są równe \(\displaystyle{ \pmod{100}}\), niech dla pewnych \(\displaystyle{ n>k}\) będzie \(\displaystyle{ 7^n \equiv 7^k \pmod{100} \iff 7^k(7^{n-k}-1) \equiv 0\pmod{100}}\), ale \(\displaystyle{ (7^k , 100) = 1}\), więc \(\displaystyle{ 7^{n-k} \equiv 1\pmod{100}}\) qed.
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

Zapis dziesiętny potegi siódemki

Post autor: Ponewor »

Pozwolę sobie zauważyć, że otrzymałeś sprzeczność, ale i tak potwierdza ona tezę.
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

Zapis dziesiętny potegi siódemki

Post autor: Vax »

Jaką sprzeczność?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Zapis dziesiętny potegi siódemki

Post autor: Jan Kraszewski »

Ponewor pisze:Pozwolę sobie zauważyć, że otrzymałeś sprzeczność, ale i tak potwierdza ona tezę.
Nie szafuj sprzecznością tam, gdzie jej nie ma - to jest zwykły dowód wprost.

JK
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

Zapis dziesiętny potegi siódemki

Post autor: Ponewor »

o przepraszam bardzo - mój błąd. Źle zrozumiałem ten dowód. Co ciekawe dowód rozumiany przeze mnie też był chyba dobry.
ODPOWIEDZ