Układ kongruencji?
-
- Użytkownik
- Posty: 178
- Rejestracja: 6 sty 2012, o 00:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zielona Góra
- Podziękował: 24 razy
Układ kongruencji?
Mam problem z tym zadaniem:
Wewnątrz reaktora jądrowego dane są dwa rodzaje cząstek: typu \(\displaystyle{ \alpha}\) oraz typu \(\displaystyle{ \beta}\). W każdej sekundzie cząstka\(\displaystyle{ \alpha}\) rozpada się na trzy cząstki typu \(\displaystyle{ \beta}\) , a cząstka \(\displaystyle{ \beta}\) na jedną cząstkę \(\displaystyle{ \alpha}\) i dwie cząstki \(\displaystyle{ \beta}\) . Jeśli umieścimy w reaktorze jedną cząstkę \(\displaystyle{ \alpha}\) w chwili t=0, to ile będzie cząstek \(\displaystyle{ \beta}\) po czasie t=100?
Prosił bym o pomoc w rozwiązaniu tego zadania.
Wewnątrz reaktora jądrowego dane są dwa rodzaje cząstek: typu \(\displaystyle{ \alpha}\) oraz typu \(\displaystyle{ \beta}\). W każdej sekundzie cząstka\(\displaystyle{ \alpha}\) rozpada się na trzy cząstki typu \(\displaystyle{ \beta}\) , a cząstka \(\displaystyle{ \beta}\) na jedną cząstkę \(\displaystyle{ \alpha}\) i dwie cząstki \(\displaystyle{ \beta}\) . Jeśli umieścimy w reaktorze jedną cząstkę \(\displaystyle{ \alpha}\) w chwili t=0, to ile będzie cząstek \(\displaystyle{ \beta}\) po czasie t=100?
Prosił bym o pomoc w rozwiązaniu tego zadania.
-
- Użytkownik
- Posty: 178
- Rejestracja: 6 sty 2012, o 00:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zielona Góra
- Podziękował: 24 razy
Układ kongruencji?
Coś takiego?
1=3 mod 100
1= 1 mod 100
1=3 mod 100
Nie wiem jak tutaj zrobić potrójny układ równań.
1=3 mod 100
1= 1 mod 100
1=3 mod 100
Nie wiem jak tutaj zrobić potrójny układ równań.
-
- Użytkownik
- Posty: 178
- Rejestracja: 6 sty 2012, o 00:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zielona Góra
- Podziękował: 24 razy
Układ kongruencji?
Czy aby na pewno ten układ jest poprawny?justynian pisze:chyba nieee, proponuje taki układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_n=\beta_{n-1} \\ \beta_{n}=3\alpha_{n-1}+2\beta_{n-2} \end{cases}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 705
- Rejestracja: 10 lip 2009, o 16:32
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 58 razy
Układ kongruencji?
Jeśli chcesz obliczyć ilość poszczególnych cząstek po n chwilach to tak. Z resztą możesz ręcznie sprawdzić że działa tylko może nie aż dla n=100. Skąd chęć użycia kongruencji ?
-
- Użytkownik
- Posty: 178
- Rejestracja: 6 sty 2012, o 00:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zielona Góra
- Podziękował: 24 razy
Układ kongruencji?
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_n=\beta_{n-1} \\ \beta_{n}=3\alpha_{n-1}+2\beta_{n-2} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_4=\beta_{3} \\ \beta_{5}=3\alpha_{4}+2\beta_{3} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_4=\beta_{3} \\ \beta_{5}=3\beta_{3}+2\beta_{3} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_4=\beta_{3} \\ \beta_{5}=5\beta_{3} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_4=\beta_{3} \\ \frac{1}{5} \beta_{5}=\beta_{3} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_4= \frac{1}{5} \beta_{5} \\ \ \beta_{5}=5\beta_{3} \end{cases}}\)
Jak dla mnie to trochę bez sensu bo dla innych wartości wychodzi to samo chyba że źle to rozwiązałem. Jeśli tak to popraw mnie.
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_4=\beta_{3} \\ \beta_{5}=3\alpha_{4}+2\beta_{3} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_4=\beta_{3} \\ \beta_{5}=3\beta_{3}+2\beta_{3} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_4=\beta_{3} \\ \beta_{5}=5\beta_{3} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_4=\beta_{3} \\ \frac{1}{5} \beta_{5}=\beta_{3} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_4= \frac{1}{5} \beta_{5} \\ \ \beta_{5}=5\beta_{3} \end{cases}}\)
Jak dla mnie to trochę bez sensu bo dla innych wartości wychodzi to samo chyba że źle to rozwiązałem. Jeśli tak to popraw mnie.
-
- Użytkownik
- Posty: 705
- Rejestracja: 10 lip 2009, o 16:32
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 58 razy
Układ kongruencji?
no źle, masz to zadanie od tak czy z uczelni ? należy w pierwszym obniżyć o jeden indeksy i wstawić do drugiego a wtedy mamy proste równanie rekurencyjne 2 rzędu.
-
- Użytkownik
- Posty: 178
- Rejestracja: 6 sty 2012, o 00:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zielona Góra
- Podziękował: 24 razy
Układ kongruencji?
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_{n-1}=\beta_{n-2} \\ \beta_{n}=3\alpha_{n-1}+2\beta_{n-2} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \beta _{n}=3 \beta _{n-2}+2 \beta _{n-2}}\)
\(\displaystyle{ \beta _{n}=5 \beta _{n-2}}\)
Następnie:
\(\displaystyle{ \beta ^{2}-5 \beta =0}\)
\(\displaystyle{ \beta ( \beta -5)=0}\)
\(\displaystyle{ \beta _{1}=0}\) \(\displaystyle{ \beta _{2}=5}\)
\(\displaystyle{ \beta _{n}= (5 \beta )^{n}}\)
A teraz to jest poprawnie?
\(\displaystyle{ \beta _{n}=3 \beta _{n-2}+2 \beta _{n-2}}\)
\(\displaystyle{ \beta _{n}=5 \beta _{n-2}}\)
Następnie:
\(\displaystyle{ \beta ^{2}-5 \beta =0}\)
\(\displaystyle{ \beta ( \beta -5)=0}\)
\(\displaystyle{ \beta _{1}=0}\) \(\displaystyle{ \beta _{2}=5}\)
\(\displaystyle{ \beta _{n}= (5 \beta )^{n}}\)
A teraz to jest poprawnie?
-
- Użytkownik
- Posty: 705
- Rejestracja: 10 lip 2009, o 16:32
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 58 razy
Układ kongruencji?
dobrze by było tylko popełniłem literówkę w układzie ma być:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_{n-1}=\beta_{n-2} \\ \beta_{n}=3\alpha_{n-1}+2\beta_{n-1} \end{cases}}\)
a nie
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_{n-1}=\beta_{n-2} \\ \beta_{n}=3\alpha_{n-1}+2\beta_{n-2} \end{cases}}\)
jak to rozwiążesz analogicznie to ok.
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_{n-1}=\beta_{n-2} \\ \beta_{n}=3\alpha_{n-1}+2\beta_{n-1} \end{cases}}\)
a nie
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_{n-1}=\beta_{n-2} \\ \beta_{n}=3\alpha_{n-1}+2\beta_{n-2} \end{cases}}\)
jak to rozwiążesz analogicznie to ok.
-
- Użytkownik
- Posty: 178
- Rejestracja: 6 sty 2012, o 00:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zielona Góra
- Podziękował: 24 razy
Układ kongruencji?
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_{n-1}=\beta_{n-2} \\ \beta_{n}=3\alpha_{n-1}+2\beta_{n-2} \end{cases}\)
\(\displaystyle{ \beta _{n}=3 \beta _{n-2}+2 \beta _{n-1}}\)
Następnie:
\(\displaystyle{ \beta ^{2}-3 \beta _{n-2} -2 \beta _{n-1} =0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{Δ}= \sqrt{17}}\)
\(\displaystyle{ \beta _{1} = \frac{3- \sqrt{17} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \beta _{2} = \frac{3+ \sqrt{17} }{2}}\)
I ostatecznie:
\(\displaystyle{ \beta _{n}= (\frac{3- \sqrt{17} }{2} \alpha )^{n}+(\frac{3+ \sqrt{17} }{2} \beta )^{n}}\)
Dobrze to jest rozwiązane? Czy może da się to jakoś inaczej zapisać.
\(\displaystyle{ \beta _{n}=3 \beta _{n-2}+2 \beta _{n-1}}\)
Następnie:
\(\displaystyle{ \beta ^{2}-3 \beta _{n-2} -2 \beta _{n-1} =0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{Δ}= \sqrt{17}}\)
\(\displaystyle{ \beta _{1} = \frac{3- \sqrt{17} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \beta _{2} = \frac{3+ \sqrt{17} }{2}}\)
I ostatecznie:
\(\displaystyle{ \beta _{n}= (\frac{3- \sqrt{17} }{2} \alpha )^{n}+(\frac{3+ \sqrt{17} }{2} \beta )^{n}}\)
Dobrze to jest rozwiązane? Czy może da się to jakoś inaczej zapisać.
-
- Użytkownik
- Posty: 705
- Rejestracja: 10 lip 2009, o 16:32
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 58 razy
Układ kongruencji?
w ostatecznej postaci na \(\displaystyle{ \beta_n}\) nie ma współczynników w nawiasach tylko przed nimi a same współczynniki obliczysz podstawiając wartość dla indeksu 1 i 2 lub 0 i 1 zależy jak sobie oznaczenia wybierzesz.