Układ kongruencji?

[Matej91]

Mam problem z tym zadaniem:

Wewnątrz reaktora jądrowego dane są dwa rodzaje cząstek: typu \(\displaystyle{ \alpha}\) oraz typu \(\displaystyle{ \beta}\). W każdej sekundzie cząstka\(\displaystyle{ \alpha}\) rozpada się na trzy cząstki typu \(\displaystyle{ \beta}\) , a cząstka \(\displaystyle{ \beta}\) na jedną cząstkę \(\displaystyle{ \alpha}\) i dwie cząstki \(\displaystyle{ \beta}\) . Jeśli umieścimy w reaktorze jedną cząstkę \(\displaystyle{ \alpha}\) w chwili t=0, to ile będzie cząstek \(\displaystyle{ \beta}\) po czasie t=100?

Prosił bym o pomoc w rozwiązaniu tego zadania.

[justynian]

raczej układ rekurencji próbowałeś ułożyć równania, co dostałeś
?

[Matej91]

Coś takiego?

1=3 mod 100
1= 1 mod 100
1=3 mod 100

Nie wiem jak tutaj zrobić potrójny układ równań.

[justynian]

chyba nieee, proponuje taki układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_n=\beta_{n-1} \\ \beta_{n}=3\alpha_{n-1}+2\beta_{n-2} \end{cases}}\)

[Matej91]

chyba nieee, proponuje taki układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_n=\beta_{n-1} \\ \beta_{n}=3\alpha_{n-1}+2\beta_{n-2} \end{cases}}\)

Czy aby na pewno ten układ jest poprawny?

[justynian]

Jeśli chcesz obliczyć ilość poszczególnych cząstek po n chwilach to tak. Z resztą możesz ręcznie sprawdzić że działa tylko może nie aż dla n=100. Skąd chęć użycia kongruencji ?

[Matej91]

\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_n=\beta_{n-1} \\ \beta_{n}=3\alpha_{n-1}+2\beta_{n-2} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_4=\beta_{3} \\ \beta_{5}=3\alpha_{4}+2\beta_{3} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_4=\beta_{3} \\ \beta_{5}=3\beta_{3}+2\beta_{3} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_4=\beta_{3} \\ \beta_{5}=5\beta_{3} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_4=\beta_{3} \\ \frac{1}{5} \beta_{5}=\beta_{3} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_4= \frac{1}{5} \beta_{5} \\ \ \beta_{5}=5\beta_{3} \end{cases}}\)

Jak dla mnie to trochę bez sensu bo dla innych wartości wychodzi to samo chyba że źle to rozwiązałem. Jeśli tak to popraw mnie.

[justynian]

no źle, masz to zadanie od tak czy z uczelni ? należy w pierwszym obniżyć o jeden indeksy i wstawić do drugiego a wtedy mamy proste równanie rekurencyjne 2 rzędu.

[Matej91]

\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_{n-1}=\beta_{n-2} \\ \beta_{n}=3\alpha_{n-1}+2\beta_{n-2} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \beta _{n}=3 \beta _{n-2}+2 \beta _{n-2}}\)

\(\displaystyle{ \beta _{n}=5 \beta _{n-2}}\)

Następnie:

\(\displaystyle{ \beta ^{2}-5 \beta =0}\)

\(\displaystyle{ \beta ( \beta -5)=0}\)

\(\displaystyle{ \beta _{1}=0}\) \(\displaystyle{ \beta _{2}=5}\)

\(\displaystyle{ \beta _{n}= (5 \beta )^{n}}\)

A teraz to jest poprawnie?

[justynian]

dobrze by było tylko popełniłem literówkę w układzie ma być:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_{n-1}=\beta_{n-2} \\ \beta_{n}=3\alpha_{n-1}+2\beta_{n-1} \end{cases}}\)

a nie

\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_{n-1}=\beta_{n-2} \\ \beta_{n}=3\alpha_{n-1}+2\beta_{n-2} \end{cases}}\)

jak to rozwiążesz analogicznie to ok.

[Matej91]

\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_{n-1}=\beta_{n-2} \\ \beta_{n}=3\alpha_{n-1}+2\beta_{n-2} \end{cases}\)
\(\displaystyle{ \beta _{n}=3 \beta _{n-2}+2 \beta _{n-1}}\)

Następnie:

\(\displaystyle{ \beta ^{2}-3 \beta _{n-2} -2 \beta _{n-1} =0}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{Δ}= \sqrt{17}}\)

\(\displaystyle{ \beta _{1} = \frac{3- \sqrt{17} }{2}}\)

\(\displaystyle{ \beta _{2} = \frac{3+ \sqrt{17} }{2}}\)

I ostatecznie:

\(\displaystyle{ \beta _{n}= (\frac{3- \sqrt{17} }{2} \alpha )^{n}+(\frac{3+ \sqrt{17} }{2} \beta )^{n}}\)

Dobrze to jest rozwiązane? Czy może da się to jakoś inaczej zapisać.

[justynian]

w ostatecznej postaci na \(\displaystyle{ \beta_n}\) nie ma współczynników w nawiasach tylko przed nimi a same współczynniki obliczysz podstawiając wartość dla indeksu 1 i 2 lub 0 i 1 zależy jak sobie oznaczenia wybierzesz.