wzor na sume czesciowa szeregu
wzor na sume czesciowa szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{5}{k(k+2)} = \frac{5( 3n ^{2}+5n) }{4(n+1)(n+2)}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
wzor na sume czesciowa szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n\frac{5}{k(k+2)}=\sum_{k=1}^n\frac{5}{2}\left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right) =\frac{5}{2}\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^n\frac{1}{k+2} \right) =\frac{5}{2}\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\sum_{k=3}^{n+2}\frac{1}{k} \right) =\\\\
=\frac{5}{2}\left(1+\frac{1}{2}+\sum_{k=3}^n\frac{1}{k}-\sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right) =\frac{5}{2}\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)=\\\\
=\frac{5}{2}\cdot\frac{3(n+1)(n+2)-2(n+2)-2(n+1)}{2(n+1)(n+2)}=\frac{5(3n^2+5n)}{4(n+1)(n+2)}}\)
=\frac{5}{2}\left(1+\frac{1}{2}+\sum_{k=3}^n\frac{1}{k}-\sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right) =\frac{5}{2}\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)=\\\\
=\frac{5}{2}\cdot\frac{3(n+1)(n+2)-2(n+2)-2(n+1)}{2(n+1)(n+2)}=\frac{5(3n^2+5n)}{4(n+1)(n+2)}}\)