Ile rozwiązań całkowitych ma równanie

[ssiesz]

Ile rozwiązań całkowitych ma równanie:
\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=12, x_i \ge 0}\)
Proszę o przedstawienie prawidłowego toku rozumowania.

[pyzol]

Prawidłowe rozumowanie to kombinacje z powtórzeniami.

[justynian]

Układamy bajeczkę: mamy 12 słupków białych i 4 czerwone w jednym rzędzie. Każda permutacja tych elementów wyznacza rozwiązanie w ten sposób że białe słupki na lewo od 1 czerwonego to \(\displaystyle{ x_1}\) te między 1 i 2 czerwonym to \(\displaystyle{ x_2}\) itd. Należy oczywiście liczbę permutacji 16 elementów podzielić na liczbę permutacji 12 i 4 elementów bo jak białe lub czerwone słupki przemieszamy między sobą to wyznaczają one nadal to samo rozwiązanie. \(\displaystyle{ n= \frac{18!}{12!4!} = {18 \choose 4}}\)

[pyzol]

257724.htm#p972871
znalazłem, tylko nie wiem na ile to będzie zrozumiałe

[ssiesz]

Nic z tego nie rozumiem. Nie da się tego wyprowadzić jakoś sumując możliwości, tzn.
I. jak mamy cztery wyrazy równe 0,
II. jak mamy trzy wyrazy równe 0, itd.?

[justynian]

Jasne że się da, możesz nawet wyliczać po kolei wszystkie rozwiązania tylko popatrz ile ich powinieneś otrzymać...

[ssiesz]

A da się to rozpisać jakoś bardziej widocznie niż jest ta bajka?

[justynian]

A czego z niej nie rozumiesz ?

[ssiesz]

Wszystkiego. A zwłaszcza tego co wyszło na końcu, skąd się wzięło 18 i dlaczego
\(\displaystyle{ \frac{18!}{12!4!}= {18 \choose 4}}\)

[justynian]

A i tu masz racje bo ma być 16 . A \(\displaystyle{ \frac{16!}{12!4!}= {16 \choose 4}}\) to wynika wprost z definicji symbolu newtona - nie znasz go ? W rozwiązaniu nie widzę co mogło by sprawić problem chyba dość dokładnie opisane jest ewentualnie zadaj konkretne pytanie.

[Majeskas]

\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=12}\)

Ustawmy ciąg dwunastu jedynek. Wówczas każde wstawienie w tym ciągu czterech bramek wyznacza jedno rozwiązanie tego równania. Np.
\(\displaystyle{ 1111|11||111|111}\)

wyznacza rozwiązanie
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1=4 \\ x_2=2\\x_3=0\\x_4=3\\x_5=3\end{cases}}\)

Rozwiązań jest więc tyle, na ile sposobów możemy wstawić takie cztery bramki, a więc \(\displaystyle{ {16\choose4}}\).

[matematix]

Nie rozumiem, dlaczego w tym zadaniu korzystamy z kombinacji, nie z wariacji, przecież rozwiązaniem danego równania jest piątka liczb, czyli np. rozwiązania \(\displaystyle{ (1,1,1,1,8)}\) i \(\displaystyle{ (1,1,1,8,1)}\), to dwa różne rozwiązania, czyli kolejność ma znaczenie.

[Majeskas]

Owszem. I oba te rozwiązania są "kodowane" przez inną kombinację:
\(\displaystyle{ (1,1,1,1,8)\longrightarrow1|1|1|1|11111111}\)

\(\displaystyle{ (1,1,1,8,1)\longrightarrow1|1|1|11111111|1}\)

Trzeba zrozumieć istotę tego zliczania.

[matematix]

Ok, już chyba to rozumiem ; )